Stima numero partite

Su un blog di scacchi che leggo di tanto in tanto ho trovato un post interessante: un tale si chiedeva quale fosse una stima del numero di diverse partite di scacchi.

Mi è sembrata una domanda interessante e così, senza leggere i commenti degli altri lettori, mi sono divertito a fare qualche calcolo.

Per prima cosa ho cercato di stimare quale sia la lunghezza massima di una partita di scacchi.
Contrariamente a quanto potrebbe pensare un neofita ci sono tre regole che limitano drasticamente il numero di mosse di una partita.
La prima di queste regole dice che se una posizione si ripresenta esattamente per tre volte, anche non consecutive, allora la partita termina pari (*1).
Ma ancora più stringente (*2) è la cosiddetta regola delle 50 mosse: questa regola stabilisce che se nessun pedone viene mosso e nessun pezzo è catturato in 50 mosse allora la partita è pari. In altre parole bisogna muovere almeno un pedone o mangiare almeno un pezzo ogni 50 mosse.
L'ultima regola stabilisce che se il materiale è insufficiente affinché uno dei due avversari possa vincere allora la partita termina in parità (ad esempio Re contro Re è pari).

Tenendo presenti le regole 2 e 3 è possibile fare una stima grossolana della lunghezza della partita più lunga.
In totale ogni giocatore ha 8 pedoni e ognuno di essi può essere mosso al massimo 6 volte (partendo dalla seconda traversa e arrivando all'ottava dove viene promosso). In totale è quindi possibile eseguire 48 mosse di pedone.
In totale, inclusi i re, ci sono 32 pezzi sulla scacchiera: è quindi possibile eseguire al massimo 30 mosse (*3) di cattura prima che il gioco termini forzatamente pari.
Queste due osservazioni implicano che ogni giocatore potrà fare 49 mosse qualsiasi ma, la cinquantesima, dovrà essere una di queste 78 (48 mosse di pedone + 30 catture) e, una volta eseguita, ne rimarranno 77 (e così via).
La massima lunghezza sarà quindi uguale a 78 * 50 ovvero 3900 mosse.

Ora bisognerebbe stimare quante sono le mosse possibili in ogni posizione: nella teoria scacchistica questo valore è noto ed è chiamato branching factor ed è pari a 35. Questo valore non è una costante ma un valore medio e può quindi variare notevolmente nel corso della partita (ad esempio nei finali sarà più piccolo o addirittura pari a 1 nel caso di mossa forzata: ad esempio dopo uno scacco). Per i nostri scopi, pur di rozza approssimazione, non possiamo comunque utilizzare direttamente il valore di 35. Tale valore include infatti sia mosse di pedone che catture che invece noi vogliamo evitare (le faremo solo ogni 50 mosse).
Basandomi sulla mia (scarsa) esperienza, MOLTO rozzamente stimo che nel branching factor medio siano considerata 7 mosse di pedone con un quarto delle restanti mosse catture: cioè 35-7=28-7 (7 è ¼ di 28)=21

Il numero totale di partite sarà dell'ordine di 21 (il branching medio da me modificato) elevato al numero di semimosse (*4) della partita più lunga: ovvero 21^(3900*2)=21^7800
Quante cifre ha 21^7800 ?
Basta risolvere la seguente equazione e trovare n:
21^7800=10^n
ln(21^7800)=ln(10^n)
7800*ln(21)=n*ln(10)
n=7800*ln(21)/ln(10)=10313
ovvero
21^7800=10^10313
ben 10000 e passa cifre! Esistono cioè circa 10304 miliardi di possibili partite!

Beh, ero incerto se postare o meno il link al blog di scacchi perché c'è il rischio che i miei calcoli vengano “distrutti” (temo soprattutto Uri Blass che è un matematico molto bravo ma anche molto pignolo!) però almeno i miei lettori potranno prendermi in giro...
Quindi: On determining an estimate for the number of games in Chess (come si può intuire dalla bandierina io sono Igrino)...

Edited: Dopo nemmeno 2 ore sono stato subito beccato da Vempele! In realtà si tratta di un errore veniale: le 48 mosse di pedone che ho considerato si riferiscono ai pedoni di un solo giocatore! Ovviamente bisogna considerare le mosse di pedone di entrambi i giocatori e quindi 48*2=96, inoltre 8 di queste mosse devono essere catture (e quindi già considerate nell'insieme delle 30) altrimenti i pedoni, posti l'uno contro l'altro, non potrebbero avanzare.
In definitiva abbiamo che la nuova lunghezza massima della partita diventa:
(96-8+30)*50=118*50=5900
e quindi il totale delle partite passa a:
21^11800=10^15602
ben 15000 e passa cifre! Esistono cioè circa 15593 miliardi di possibili partite!

Nota (*1): per la precisione non solo si deve ripresentare la stessa esatta posizione ma bisogna che il tratto, ovvero la facoltà di muovere, sia allo stesso giocatore. Inoltre la patta non è automatica ma va richiesta.
Nota (*2): nel senso che se esistesse solo la regola precedente, ma non quella delle 50 mosse, allora il numero totale di mosse della partita più lunga possibile sarebbe enormemente maggiore.
Nota (*3): inizialmente avevo escluso i pedoni da questo conteggio perché, mi dicevo, se un pedone viene mangiato non può più avanzare. In realtà, visto che consideriamo la partita più lunga, si può immaginare che il pedone venga catturato solo dopo che abbia eseguito le “sue” 6 mosse, ovvero solo dopo che sia stato promosso...

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