Gauss, Fermat o KGB?

L'altra settimana ho iniziato un altro corso in linea: “Introduzione al pensiero matematico”.
Non mi era chiaro quale fosse l'argomento ma ero curioso di scoprirlo: in pratica, se ho ben capito, si tratta di un corso piuttosto comune negli USA che aiuta gli studenti a passare dalla matematica delle superiori, estremamente meccanica, a quella universitaria molto più creativa.

La prima lezione l'ho trovato molto banale ma già nell'introduzione il professore spiegava che il corso sarebbe diventato rapidamente più impegnativo. Vedremo...

Nel frattempo, la lezione ha fatto un accenno a un curioso teorema di Fermat (*1). Siccome mi era parso molto interessante avevo deciso di provare a dimostrarlo per conto mio. Visto che l'enunciato non mi era chiaro ho chiesto a un amico di procurarmelo: avevo paura, facendolo personalmente, di leggere involontariamente dei dettagli/suggerimenti che mi avrebbero condizionato (*2).

Così gli ho scritto:
«...
Ho iniziato un corso sul pensiero matematico e mi ha colpito un teorema di Gauss: se T è primo ed è uguale a 4*n+1 allora T è uguale alla somma di due quadrati.
Volevo divertirmi a scoprire la dimostrazione da solo ma prima di perdere tempo inutilmente volevo essere sicuro che la tesi fosse esattamente quella che ti ho scritto: non voglio cercare da solo la definizione perché ho paura di vedere comunque delle info in più che potrebbero togliermi gusto o motivazione.
Puoi quindi per favore controllare tu se la tesi del problema è corretta? Ovviamente n appartiene a N così come le radici dei quadrati ma ad esempio ho il dubbio che siano quadrati di numeri primi...
...»

Conoscendomi bene questo amico non ha mugugnato né fatto domande ma mi ha risposto:
«...
Sì il teorema è così, ma è un "se e solo se" ed è di Fermat. Per il tuo dubbio, n appartiene a N e non c'è nessun'altra condizione. Beh, come controesempio, mi pare che 97 sia primo e somma di 16+81, nessuno dei due è il quadrato di un numero primo...
...»

Siccome sono pignolo (*4) gli ho riscritto circa un quarto d'ora dopo precisando:
«...
A essere precisi il tuo contro esempio "Beh, come controesempio, mi pare che 97 sia primo e somma di 16+81, nessuno dei due è il quadrato di un numero primo..." è errato.
Nel senso che non è un controesempio: non esclude cioè che 97 possa essere dato anche dalla somma dei quadrati di due numeri primi.
Fortunatamente è facilmente dimostrabile che qualsiasi numero (non importa se primo o no) che termina con 7 non può essere dato dalla somma dei quadrati di due numeri primi.
Dimostrazione:
Con l'esclusione di 2 e 5 tutti i numeri primi devono finire in 1, 3, 7 e 9.
I loro quadrati termineranno quindi con la cifra 1, 9, 9 o 1.
Le possibili combinazioni di somme di questi quadrati ci danno solo numeri terminanti in 2, 0 o 8.
Anche considerando le ultime cifre dei quadrati di 2 e 5 (4 e 5) non serve a niente: si aggiunge solo 8 (già presente), 9, 0 (già presente), 5, 3, 6 e 4.
Insomma nessuna somma di quadrati di numeri primi può terminare con la cifra 7 (né 1)...
...»

Questa piccola dimostrazione è interessante perché ha delle analogie col teorema vero e proprio...

Al momento, dopo circa 2 ore e 30' di riflessione su carta (*3), ho dimostrato il verso (credo!) più semplice del teorema, ovvero: “Dato P primo, se P=J^2+K^2 allora P=4*N+1 dove J, K e N sono numeri naturali”

La mia dimostrazione sfrutta due semplici proprietà dell'operazione di modulo che non sto a dimostrare:
a1. Se MOD(A,P)=M e MOD(B,P)=N allora MOD(A+B,P) = MOD(M+N,P)
a2. Se MOD(A,P)=K allora MOD(A^2,P) = MOD(K^2,P)

Ma passiamo alla dimostrazione vera e propria:
1. MOD(J,4) potrà essere 0, 1, 2 o 3.
2. per a2 MOD(J^2,4) potrà essere 0, 1, 0 o 1 uguale a S
3. analogamente MOD(K^2,4) potrà essere 0 o 1 uguale a T
4. per a1 MOD(J^2+K^2,4) è uguale a MOD(S+T,4)
5. S+T per 2. e 3. potrà essere uguale a 0, 1 o 2. Stessi valori per MOD(S+T,4).
6. Però, visto che per ipotesi J^2+K^2 è uguale a P primo MOD(S+T,4) = MOD(P,4) non potrà essere 0 perché significherebbe che P è divisibile per 4.
7. Se invece MOD(S+T,4) fosse uguale a 2 significherebbe (per definizione di modulo) che P=4*V+2 ma questo è impossibile perché 4*V+2 (e quindi P) sarebbe divisibile per 2.
8. Per esclusione allora MOD(S+T,4) = MOD(P,4) = 1 e, per definizione di modulo, P=4*N+1
CVD

Nota (*1): o Gauss? Il corso diceva Gauss, il mio amico Fermat...
Nota (*2): tipico di me: molte volte i miei lettori avranno letto dei pezzi dove spiego di non aver voluto controllare Wikipedia prima di scrivere il mio pensiero...
Nota (*3): senza contare cioè le ore insonni, direi almeno 5, che raramente sono costruttive ma che comunque spesso gettano delle basi per delle idee che verifico poi a tavolino.
Nota (*4): rileggendo questo scambio di epistole mi rendo conto che forse non è chiaro quale sia il problema. Nella mia prima epistola spiegavo che avevo il dubbio che la somma potesse essere data dai quadrati di numeri primi. Il mio amico mi risponde dicendo che non è così perché 97 è uguale a 81 + 16. Nella mia terza epistola spiego che dire che 97 è uguale alla somma di due numeri primi non implica che non possa essere somma di due quadrati di numeri primi. Poi allego una breve dimostrazione che mostra come in effetti nessun numero terminante con la cifra 7 (o 1) può essere dato dalla somma dei quadrati di due numeri primi.

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