Probabilmente sbagliato perché le probabilità non sono il mio forte e perché la verifica dei miei numeri non ha dato risultati eccezionali. Comunque...Avendo cominciato a giocare a poker (*1), qualche giorno fa mi sono intestardito a cercare di approssimare le probabilità di vittoria di A+T (*2) contro J+4.
In particolare volevo anche dimostrare la mia teoria secondo la quale, la seconda carta della coppia “forte”, in questo caso il T, non è troppo importante perché decisiva solo in “pochi” casi. Tutto dipende da cosa si intendi per “pochi” ovviamente...
Per semplicità ho deciso di considerare solo la possibilità di coppia singola. Questo significa che sono nell'ipotesi in cui ciascun giocatore può realizzare al massimo una coppia con una delle sue due carte.
In pratica ho un campo di 16 possibilità:
| Asso | Coppia | 1 | 1 | 1 | 1 |
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| Niente | 2 | 1 | 2 | 1 |
| Dieci | Coppia | 2 | 1 | 1 | 1 |
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| Niente | 2 | 1 | 2 | 1 |
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| Coppia | Niente | Coppia | Niente |
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| Jack |
| Quattro |
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Sfortunatamente questi 16 casi non sono equiprobabili: bisogna calcolare la probabilità di CC (Coppia+Coppia), CN (Coppia+Niente) e NN (Niente + Niente).
La probabilità di fare Coppia con una delle due carte è Bin(3,1)*Bin(47,4)/Bin(50,5) (*6) pari a circa il 25.26%.
Quindi la probabilità di fare 1 coppia è pari al 50.52% meno la probabilità di fare doppia coppia, ovvero 0.25*0.25 = 0.0625 (6.25%) (*3) quindi 50.52-5.63 (vedi nota (*3)!) = 44.89%
Di conseguenza la probabilità di non fare 1 coppia (N) è 1-.4489 = .5511 = 55.11%.
Le probabilità cercate sono quindi (*4):
CC = 0.25*0.25 = 0.0625 = 6.25%
CN = 0.25*0.55 = 0.1375 = 13.75%
NN = 0.55*0.55 = 0.3025 = 30.25%
Tenendo condo di queste probabilità possiamo “normalizzare” la nostra tabella ottenendo che:
La vittoria della prima coppia ha peso: 3*CC+4*CN+4*NN = 0.1875 + 0.55 + 1.21 = 1.9475
La vittoria della seconda coppia ha peso: CC+4*CN = 0.0625 + 0.55 = 0.6125
Quindi la probabilità di vittoria della prima coppia è: 1.9475/(1.9475+0.6125) = .76 = 76%
Mentre la probabilità di vittoria della seconda coppia è: 1-0.76 = .24 = 24%
In particolare si osserva che la seconda carta della coppia “forte” (A+T) è determinante solo per un caso CC quando vince sulla coppia 4 + 4. Tale probabilità equivale a CC/(1.9475+0.6125) = 3.2%
Quindi fra il caso generico in cui, la seconda carta della coppia forte è più alta di entrambe le carte della coppia debole (Es. A+K vs J+4), e il caso in cui la seconda carta della coppia forte è più bassa di entrambe le carte della coppia debole (Es. A+2 vs J+4), c'è solo un 6.4% di differenza.
Successivamente ho scovato su internet un programmino che calcola le varie probabilità.
Ho verificato che: A+T vs. J+4 vince il 64% contro il 36% (*5); A+K vs. J+4 vince il 67% contro il 33%; A+2 vs. J+4 vince 60% contro il 40%.
Si nota quindi che le mie probabilità assolute di vittoria sono sballate di un 12% ma che la differenza fra i tre casi presi in esame è molto accurata (3.2% vs 3.5%).
In realtà il fatto che la mia approssimazione abbia ottenuto risultati così sbagliati mi ha seccato non poco. Ci ho ragionato e sono giunto alla conclusione che considerando le probabilità di doppia coppia, tris, scala, colore, full e poker, grossolanamente equiprobabili sia per la coppia forte che per quella debole si riequilibrano un po' i rapporti di forza fra le due coppie.
Mi sono già divertito a fare i miei conti ma, per oggi, non voglio tediarvi ulteriormente e rimando questi nuovi calcoli a un prossimo post...
Nota (*1): A Texas Hold Em per la precisione. In questa variante ogni giocatore riceve 2 carte mentre altre 5 sono distribuite sul tavolo e sono comuni a tutti i giocatori. Vince il giocatore che, usando le proprie 2 carte e le 5 sul tavolo, ha la mano migliore.
Nota (*2): “T” sta per 10. Non ero interessato al seme delle carte perché volevo solo un'approssimazione.
Nota (*3): In realtà non è esatto fare il prodotto di queste due probabilità perché non sono indipendenti (ovvero la probabilità che con una carta si faccia o meno coppia influenza la probabilità che si faccia coppia con la seconda...). Più correttamente dovrei usare Bin(3,1)*Bin(3,1)*Bin(44,3)/Bin(50,5) che corrisponde al 5.63%. Ok, ormai l'ho calcolato allora uso il valore corretto...
Nota (*4): Sempre approssimando grossolanamente perché considero indipendenti eventi che in realtà non lo sono...
Nota (*5): Stranamente, considerando brutalmente equiprobabili i vari casi della tabella iniziale, si ottengono delle approssimazioni più esatte della mia: la prima coppia vince infatti con probabilità 11/16 (68.75%) e la seconda 5/16 (31.25%). Insomma: oltre al danno la beffa!
Nota (*6): Dove Bin(n,k) indica il binomiale di “n” su “k”, ovvero: n!/(k!*(n-k)!)
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