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martedì 20 aprile 2010

Razionali contro Irrazionali

Ultimamente ho problemi di digestione e, i miei ultimi post, e questo in particolare, ne risentono.
Infatti, proprio a causa del mio "intestino pigro", stasera non avevo sonno e, per questo, ho passato quasi due ore a scrivere il seguente post...
Oltretutto, in particolare la mia fantasia, è meno viva del solito cosicché, i più intuitivi fra i miei lettori, avranno senza dubbio indovinato, dal titolo del post, di cosa andrò a scrivere oggi.

Esatto!
Affronterò l'argomento che turba i sonni di ogni persona che si definisce razionale: ovvero, dimostrerò che, la radice di tre, è irrazionale.

Una nota editoriale: nel prosieguo rimpiazzerò il simbolo di radice quadrata (che non so come fare apparire nel blog) con la funzione R(). Quindi, ad esempio, scriverò radice quadrata di tre come R(3).
Per l'elevamento a potenza userò invece il simbolo grafico ^. Quindi, ad esempio, tre al quadrato, verrà scritto come: 3^2

Ricordo che un numero q si dice razionale se è esprimibile come frazione di due numeri relativi (un numero relativo è un intero positivo o negativo). Ovvero: q è razionale se esistono a e b relativi tali che q=a/b

Io voglio dimostrare che R(3) è irrazionale. Ovvero che NON esistono alcun a e b, numeri relativi, tali che:

1] R(3)=a/b

Dimostrerò quindi che l'equazione 1] è falsa.

Prima di tutto bisogna sottolineare che, se q=a/b, esistono infinite coppie di numeratori e denominatori che esprimono lo stesso numero razionale q.
Infatti, se q=a/b, allora q=(2*a)/(2*b) e q=(3*a)/(3*b) ... q=(n*a)/(n*b) etc
Ad esempio:
se 0.6=3/5 allora 0.6=(6/10) e 0.6=(9/15) ... 0.6=(n*3)/(n*5)

Per questo motivo, in genere, si esprime un numero razionale q usando come numeratore e denominatore due numeri a e b ridotti ai "minimi termini". Ovvero a e b primi fra loro. Ovvero a e b tali che non esista nessun intero che possa dividerli entrambi "esattamente" (ottenendo cioè due numeri interi).
In altre parole 3 e 5 sono ridotti ai minimi termini perchè NON sono entrambi divisibili "esattamente" per nessun numero intero. Invece questo non è vero per 6 e 10 perchè sono entrambi divisibili "esattamente" per 2 (6/2=3 e 10/2=5). Anche 9 e 15 non sono primi fra loro in quanto entrambi divisibili "esattamente" per 3 (9/3=3 e 15/3=5). Lo stesso si può dire per n*3 e n*5 infatti, entrambi questi numeri, sono divisibili per n (n*3/n=3 e n*5/n=5).

Ho evidenziato questa caratteristica perché sarà importante nella dimostrazione.
Impongo infatti che l'equazione 1] abbia a e b ridotti ai minimi termini: cioè a e b non avranno nessun divisore comune. Cioè:

1'] R(3)=a/b dove a e b sono ridotti ai minimi termini

Il lettore sospettoso potrebbe forse dubitare che tali numeri, a e b, esistano sempre per qualunque q razionale. In altre parole, supponendo che q=A/B, ci si potrebbe chiedere se esistano realmente due numeri a e b, ridotti ai minimi termini, che esprimano lo stesso numero q dato da q=A/B.
Certamente! Per trovare a e b partendo da A e B è sufficiente scomporre A e B nei loro rispettivi fattori ed eliminare quelli comuni. Ad esempio se A=20 e B=30 si avrebbe:
A = 20 = 2*10 = 2*2*5
B = 30 = 2*15 = 2*3*5
In questo esempio i fattori comuni sono 2 e 5 ed, eliminandoli, si ottiene a=2 e b=3.
In altre parole è sempre possibile scrivere un numero razionale q come quoziente di due numeri a e b ridotti ai minimi termini.

La dimostrazione sarà per "assurdo". Supporremo che 1'] sia vera (cioè che R(3) sia razionale) e, tramite una serie di passaggi logici, arriveremo a una contraddizione. Se partendo da una certa premessa (nel nostro caso che 1'] sia vera) si arriva a una contraddizione allora questo significa che, la nostra premessa, è errata (nel nostro caso questo significherà che 1'] è falsa e, cioè, che R(3) non è un numero razionale).
Tutto chiaro fino a qui, vero?
Allora procediamo!

1'] R(3)=a/b dove a e b sono ridotti ai minimi termini

segue che:

2] 3=a^2/b^2 (ho semplicemente elevato al quadrato entrambi i termini dell'equazione)

segue che:

3] 3*b^2=a^2 (ho moltiplicato entrambi i termini per b^2)

Cosa significa l'equazione 3]?
Significa che a^2 è un multiplo di 3. Cosa significa "essere un multiplo di 3"? Significa essere uguali a 3 moltiplicato un numero intero. Nel nostro caso tale numero intero è b^2.
Mi spiego meglio: non bisogna farsi confondere dai quadrati! si considera b^2 e a^2 come numeri a sé stanti.
In altre parole, se riscriviamo b^2 come Bia e a^2 come Ari, si avrebbe che 3] sarebbe equivalente ad 3*Bia=Ari. Scritto in questa forma, è evidente che Ari è multiplo di 3 (perchè Ari sarebbe uguale a 3 moltiplicato Bia!).
Spero di non aver confuso maggiormente ma chiarito un po'!

Quindi segue che:

3'] a^2=3*(n1*n2*n3*..*ni) (dove n1*n2*n3*..*ni è la scomposizione in fattori di b^2).

Ora, sapendo che a^2 è multiplo di 3, cosa possiamo dire di a?
La risposta è che, anche a, è multiplo di 3. Forse questo è il passaggio più difficile da capire.
Dire che a è multiplo di 3, analogamente a quanto detto per 3'], significa che: a=3*(m1*m2*..*mj)
Ovvero che a ha almeno un fattore uguale a 3.
Supponiamo invece, per assurdo (questa è una piccola dimostrazione nella dimostrazione) che a non sia multiplo di 3, avremo che:

3''] a=m1*m2*..mj dove, nessun fattore mi, è uguale a 3

segue che:

4''] a^2=m1^2*m2^2*..mj^2

L'equazione 4''] porta però a una contraddizione perchè se, come detto in 3''], nessun fattore mi è uguale a 3, allora anche nessun fattore mi^2 sarà uguale a 3.
Abbiamo così ottenuto una contraddizione in quanto, per 3'], sappiamo che a^2 è multiplo di 3.
Abbiamo finito!? Assolutamente no!
Questo significa solamente che la nostra ipotesi 3''] era falsa e che quindi, a, deve contenere almeno un fattore pari a 3.
Possiamo quindi scrivere:

3'''] a=3*m (dove m è uguale a m1*m2*..mj)

segue che:

4] a^2=9*m^2 (ho elevato al quadrato entrambi i termini dell'equazione)

Mettendo insieme l'equazione 3] e 4] si ottiene:

3*b^2=a^2 e a^2=9*m^2

segue che:

5] 3*b^2=9*m^2

segue che:

6] b^2=3*m^2 (ho semplicemente diviso entrambi i termini per 3)

Analogamente, per quanto detto per l'equazione 3], questo significa che anche b^2 è multiplo di 3.
Analogamente a quanto dimostrato precedentemente (vedi i passaggi 3''], 4''] e 3'''] ) questo significa che, anche b, è multiplo di 3. Cioè:

7] b=3*p

Abbiamo finito!
Perché?
Perché abbiamo raggiunto una contraddizione!
Se 3'''] e 7] sono vere, avremmo contemporaneamente:

a=3*m e b=3*p

Ma, in questo caso, a e b non sarebbero ridotti ai minimi termini in quanto entrambi divisibili per 3.
Questo risultato è però in contraddizione con la nostra premessa 1'] dove, esplicitamente, indicavamo che "a e b sono ridotti ai minimi termini".
Questo significa che la nostra premessa che R(3) fosse un numero razionale era assurda e, quindi, R(3) è un numero irrazionale.
cvd

Il lettore, con passaggi analoghi, può dimostrare che R(2) è irrazionale. In questa maniera, alle feste, potrà stupire e divertire i propri amici dimostrando l'affermazione di Aristotele secondo cui "supponendo commensurabili la diagonale con il lato del quadrato, si giungerebbe allora all'assurdo, che i numeri dispari risultano uguali ai numeri pari". Ovvero che, se si prova a dimostrare, fissato a 1 il lato del quadrato, che R(2), la diagonale, è un numero razionale, si ottiene l'assurdo che anche i numeri dispari sono multipli di 2.

Questo sfortunatamente non chiarisce se io sia razionale o irrazionale. Infatti, la dimostrazione è corretta e quindi razionale ma, il fatto che io abbia postato questa dimostrazione, è irrazionale.

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