Circa 350 anni fa...

...Abraham de Moivre scrisse una email a Newton prendendolo per i fondelli:
“Caro Isacchino,
Lavorando sulla serie di Fibonacci ho scoperto una formula bellina bellina che ti accludo nel file .doc;
Incidentalmente ho scoperto a cosa converge, per n tendente all'infinito, Fib(n+1)/Fib(n): a te non credo che riesca comunque, se vuoi, provaci e fammi sapere... eh! eh!
Saluti,
Abramino”

Isaac Newton per anni cercò di risolvere il problema postogli dall'amico ma non vi riuscì. Infine, per lo sconforto e la disperazione, si decise a compiere l'insano gesto e andò a impiccarsi.
Fortunatamente l'albero che scelse era un melo piuttosto vecchio ed eziolato: il ramo a cui Isaac aveva assicurato la corda cedette e gli cadde sulla testa. Da qui l'origine dell'intuizione sulla forza di gravità: poi, per motivi commerciali, la biografia non parla di “sonno eterno” e “ramo di melo” ma di “sonnellino” e “mela”, ma la verità è questa...

Ebbene, per la prima volta dopo 350 anni su questo blog, la soluzione del problema che quasi uccise Isaac Newton!!

A parte gli scherzi, ho finalmente risolto il problema a cui avevo accennato nel corto Progressi sul Fib(n)/Fib(n-1)!!
Che dire: ci ho perso un sacco di tempo ed era una sciocchezza e, se Shouryya avesse visto i miei tentativi, avrebbe scosso la testa guardandomi con disprezzo...

Per la curiosità dei miei lettori ecco la mia dimostrazione.
Volevo dimostrare che il limite, per n tendente all'infinito, di Fib(n+1)/Fib(n) fosse Φ (*1) dove Fib(n) è l'elemento n-essimo della successione di Fibonacci.

Definisco la successione Rapp(n)=Fib(n)/Fib(n-1)

Dimostro per induzione che Rapp(n)=Fib(n)/Fib(n-1) è sempre >= 1

Per n=2 si ha Rapp(2)=Fib(2)/Fib(1)=1/1=1 OK

Per ipotesi induttiva affermo Rapp(n)>=1; cioè Fib(n)/Fib(n-1)>=1

Devo quindi dimostrare che Rapp(n+1)>=1

Rapp(n+1)=Fib(n+1)/Fib(n)

Fib(n+1)/Fib(n) = (Fib(n)+Fib(n-1))/Fib(n) = 1 + Fib(n-1)/Fib(n)

Quindi Rapp(n+1) sarà >=1 se Fib(n-1)/Fib(n)>=0; ma Fib(n-1)/Fib(n) è l'inverso di Rapp(n) che, per ipotesi induttiva sappiamo essere >=1, e quindi è >0

Quindi Rapp(n), per n>=1, è sempre maggiore di 1.

Rapp(n+1) lo possiamo scrivere in funzione di Rapp(n) nel seguente modo:

Rapp(n+1)=Fib(n+1)/Fib(n)=(Fib(n)+Fib(n-1))/Fib(n) = 1 + Fib(n-1)/Fib(n)=1+1/Rapp(n)

Cioè Rapp(n+1)=1+1/Rapp(n)

Per n tendente a infinito Rapp(n+1) e Rapp(n) prenderanno lo stesso valore L; possiamo quindi scrivere l'equazione:

L=1+1/L ovvero L*L-L-1=0 che è una semplice equazione di secondo grado con soluzioni:

L1=(1-Radice(5))/2 e L2=(1+Radice(5))/2

L1 è negativa e va scartata perché sappiamo che Rapp(n)>=1 questo significa che Rapp(n) tende (1+Radice(5))/2 che, guarda caso, è Φ. CVD

La cosa interessante non è però questa dimostrazione quanto i miei sforzi per arrivare ad essa!
Di seguito le scannerizzazioni delle quattordici pagine che mi hanno portato a questa soluzione:

La mia base di partenza era la nozione che la sezione aurea è pari al rapporto dei lati b/a quando b/a=(a+b)/b.
Poi suppongo a=1 e vedo che b deve essere Φ.

Verifico che se b/a=(a+b)/b=Φ allora anche (a+2b)/(a+b) è ancora uguale a Φ.

Passo al vero problema che mi sta a cuore: cosa succede quando il rapporto fra a e b non è Φ ma α? Con qualche prova arrivo alla formula che tale rapporto è:
(Fib(n-1)+ α Fib(n-2))/(Fib(n)+ α Fib(n-1)

Con maxima avevo verificato che questo rapporto, indipendentemente dal suo valore α iniziale, tendeva comunque a Φ. Per motivi miei (*2) volevo ora dimostrarlo formalmente. Il mio primo rozzo (dopotutto sono anni che non adopero questa matematica!) tentativo fallisce miseramente...

In cerca di idee, dimostro una relazione trovata su internet e provo ad armeggiare con la versione di Fib(n) espressa con i coefficenti binomiali del triangolo di Tartaglia...

Per semplicità decido di concentrarmi sul termine maggiore Fib(n)/Fib(n+1). L'idea è quella di usare la forma di Fib(n) espressa con i coefficenti binomiali nella speranza di riuscire a fare delle semplificazioni.

Prima però faccio degli esperimenti per capire per bene tale relazione, in particolare per l'indice "n"...

Altri esperimenti: noto che basta "metà" sommatoria...

Finalmente riscrivo la mia formula e trovo una bella semplificazione. Il risultato però non mi convince: con qualche test mi accorgo che in un rapporto fra sommatorie è possibile estrarre una costante ma non un'espressione che contenga l'indice della sommatoria!

Abbondono la strada con i coefficenti binomiali. Scopro su Wikipedia la formula di Binet (vedi Fibonacci number). Usandola sarebbe facile calcolare il mio limite ma mi sembrerebbe di barare, quindi provo a nuovi esperimenti: in particolare provo a mettere Fib(n) nella formula che avevo inizialmente usato per calcolare la lunghezza del lato maggiore del rettangolo...

Prima mi confondo e mi illudo... poi ho una nuova idea: quella di scomporre Fib(n) nelle sue sottocomponenti.

Mi creo un bell'alberozzo e poi ricavo una nuova formula (sbagliata: mi rendo conto di aver considerato solo un "ramo" dell'albero). Probabilmente lavorandoci potrei ottenere qualcosa ma ho una nuova idea...

Finalmente "capisco" la relazione fra la sezione aurea del rettangolo e la sequenza di Fibonacci: mi accorgo cioè che la sequnza di Fibonacci corrisponderebbe alla sezione aurea del rettangolo se non partisse col secondo valore "errato" (Fib(2)=1 invece di Φ). Ipotizzo che potrei calcolare di quanto ci si "discosta" dal valore corretto. Noto che il valore "errato" 1 è proprio pari al φ + ψ che compaiono nella formula del Binet... Ma ho una nuova idea! Dividere la successione Rapp(n) nelle sequenze con gli elementi pari e con gli elementi dispari (infatti sapevo che il rapporto convergeva a Φ con valori alternativamente maggiori e minori di esso) per studiarle separatamente.

Poi mi dico: "Ma che bisogno c'è?" e faccio tutto insieme...

Nota (*1): Φ è la sezione aurea e Fib(n+1) è definita ricorsivamente come Fib(n)+Fib(n-1) (la sequenza, che parte con F(1)=F(2)=1, è quindi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 etc...)
Non è niente di nuovo però volevo divertirmi a dimostrarlo per conto mio...
Nota (*2): Infatti la mia idea era quella di dimostrare che quando la natura pare seguire una regola matematica (in questo caso il rapporto aureo) in realtà è merito della matematica e non la volontà della natura! Cioè, in questo caso ad esempio, la natura si limita a creare sequenze di elementi basate sulla somma degli ultimi due elementi: ma è una proprietà matematica che fa sì che, indipendentemente dagli elementi di partenza, il rapporto fra gli ultimi due elementi della sequanze tenda alla sezione aurea... Ma magari su questo concetto ci tornerò con un post a parte...

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