Velocità di fuga

Come sapete sto leggendo Dialogo sui due massimi sistemi del mondo di Galilei: adesso i tre amici sono impegnati a discutere se la Terra sia ferma oppure se giri su se stessa.

Simplicio, il seguace della fisica di Aristotele, chiede come mai, se la Terra gira su se stessa, gli oggetti sulla sua superficie non vengano scagliati via: dopotutto (v. La Terra ruota su se stessa!) la velocità tangenziale alla latitudine di Pisa è di 1205 Km/h ovvero 334 m/s!

Devo ammettere che non mi ero mai posto il problema dando per scontato che sia la gravità a tenerci attaccati al suolo: è però altrettanto vero che, se non ci fosse la gravità si verrebbe immediatamente scagliati nello spazio.
Ci deve quindi essere un equilibrio fra velocità e attrazione terrestre oltrepassato il quale si può lasciare la Terra vincendone la gravità: questa soglia è detta “velocità di fuga”.

Galilei fa una dimostrazione di cui non ho seguito i dettagli (semplicemente non riesco a leggere i particolari del minuscolo disegno che compare sul mio e-book) dove in pratica dice che gli oggetti sulla superficie terrestre sono soggetti alla velocità tangenziale che, appunto, li spingerebbe lungo la tangente alla superficie terrestre ma che la gravità che li attira verso il centro della Terra (concetto aristotelico su cui Galilei non ha niente in contrario) è sufficiente a compensarla: questo perché la Terra è così vasta che la tangente alla superficie corre prossima al terreno per svariati chilometri: insomma localmente la Terra la possiamo considerare piatta.

Questi ragionamenti con tangenti e misteriose linee “seganti” (anche la terminologia è infatti problematica) mi hanno dato l’idea per calcolare la velocità di fuga.

La mia ipotesi è molto semplice: dato che la forza di gravità è 9,81m/s² allora un oggetto lasciato cadere per 1 secondo avrà una velocità di 9,81 m/s e avrà percorso 9,81 m.
Se un oggetto sparato sulla tangente alla superficie terrestre riesce a percorrere in 1 secondo una distanza tale da trovarsi (teoricamente) a più di 9,81 m di altezza allora, nonostante la gravità lo tiri verso terra, si alzerà effettivamente della differenza fra altezza teorica meno 9,81 m.

Quindi qual è la distanza da percorrere sulla tangente alla superficie terrestre?
La possiamo ricavare facilmente con un po’ di trigonometria (e una calcolatrice!).

Per prima cosa calcolo l’angolo (α) fra due punti della superficie terrestre per cui la distanza del secondo dalla tangente passante per il primo è esattamente 9,81 metri.
In altre parole devo trovare α tale che:
RaggioTerra*cos(α) = RaggioTerra-9,81 (*1)
cos(α) = (RaggioTerra-9,81) / RaggioTerra
cos(α) = 6.372.990,19 / 6.373.000
α = arccos(0,99999846) = 0,100553697°

La distanza da percorrere in un secondo sarà quindi pari a:
RaggioTerra * sen(α)
6.373.000 * 0,001754992187
ovvero circa 11.185 m
Una velocità maggiore di 11.185 m/s è quindi sufficiente per vincere la gravità terrestre.

Ovviamente non considero la resistenza dell’aria, considero la Terra perfettamente sferica etc.

Conclusione: prima di pubblicare questo pezzo ho controllato su Wikipedia a quanto equivalga la velocità di fuga e, mi pare, il mio risultato è sostanzialmente corretto.

Nota (*1): in realtà mi sono reso conto proprio mentre scrivevo questo articolo di una inesattezza: la differenza di altezza non è data esattamente da
RaggioTerra*cos(α) = RaggioTerra-9,81
perché dovrei considerare la perpendicolare (diretta verso il centro della Terra) che passa per il secondo punto e la tangente al primo mentre io considero una linea inclinata di un decimo di grado rispetto a essa (alla perpendicolare intendo). Fortunatamente la differenza è molto piccola e non falsa troppo il risultato finale…
Per scrupolo ho voluto verificare: senza entrare nei dettagli (triangoli simili etc.) è come se considerassi una gravità di:
x * cos(α) = 9,81
x = 9,81 / cos(α)
x = 9,81 / 0,99999846 = 9.81002
Insomma come immaginavo la differenza è trascurabile...

Share