Allora, questa è divertente: ieri sera e poi stamani ho fatto dei calcoli per ricavare la formula per il calcolo del volume di una piramide, dopo ci stavo scrivendo questo pezzo quando mi sono accorto che c’è un errore che però ne annulla un altro (non meglio identificato, vedi nel prosieguo) facendomi comunque ottenere il risultato corretto!La cosa buffa è che non mi è chiaro il motivo dell’errore, che in realtà rende i calcoli corretti: ho delle ipotesi ma dovrò chiedere aiuto a chi ne sa più di me…
Di seguito il pezzo che stavo scrivendo e in fondo la disquisizione sull’errore.
Nei giorni scorsi, anzi, nelle notti scorse, mi sono divertito con un nuovo (v. Teorema di Viviani) “progettino” mentale: calcolare il volume di una piramide di base quadrata e altezza qualsiasi.
In realtà, memore che questi contorcimenti mentali matematici mi causano insonnia piuttosto che sonnolenza, non si è trattato di un’attività programmata: però, come dice il proverbio, “la mente batte dove il pensiero duole”…
Inizialmente avevo difficoltà a visualizzare per bene la piramide: partendo dall’idea che l’area del triangolo è la metà di quella di un rettangolo cercavo di combinare il volume della piramide con quello di un parallelepipedo con la stessa base e altezza ma non mi è riuscito. Ho provato a scomporre la piramide, a rigirarla, a tagliarla e riassemblarla, a metterne quattro insieme e altre idee simili, ma, a parte la notevole confusione mentale con spigoli e superfici, non sono arrivato a niente.
Poi ho iniziato a “scolpire” la piramide tagliando il parallelepipedo con piani che disegnavano i lati e gli spigoli della piramide.
Considerando metà parallelepipedo era chiaro che il primo piano ne tagliava via esattamente metà: allora ho iniziato a considerarne un quarto per vedere cosa accadeva tagliando quello che rimaneva con un secondo piano. Inizialmente mi sembrava che il volume risultante dovesse ridursi a ¼ visto che dividevo per due, e per due volte consecutive, il quarto di parallelepipedo che stavo considerando. Poi però mi sono reso conto che non era così: il secondo taglio non divide un volume omogeneo e integro ma una specie di “zeppa” spessa alla base ma che si assottiglia sempre più.
Allora ho iniziato a pensare al problema in maniera più matematica invece che geometrica: mi sono chiesto a quale funzione corrispondesse il piano che tagliava il quarto di parallelepipedo su cui stavo riflettendo. Se avessi avuto questa funzione mi sarebbe bastato applicarla due volte per considerare il reale effetto sul volume originale del quarto di parallelepipedo.
Sono arrivato alla conclusione che si trattasse di una semplice retta che partendo dalla coordinata (0,1) arrivava a (2,0). Ero infatti partito pensando a una piramide concreta di lato pari a 1 e altezza pari a 2: subito dopo mi sono reso conto che potevo generalizzare sostituendo a 1 la base dello “spicchio” della piramide e a 2 la sua altezza...
E qui sono arrivato con i miei ragionamenti mentali…
Ieri sera però, verso le 1:30AM, mi sono deciso a prendere penna e foglio a quadretti per vedere di risolvere la questione. In breve tempo ho riempito una pagina di quadernone “risolvendo” il problema: causa sonno però il risultato non mi sembrava affidabile e mi ero ripromesso di riscrivere il tutto, in bella forma, l’indomani.
Oggi in pochi minuti ho ripercorso la mia soluzione rifacendo poi i calcoli. Ricopio e integro dal mio quadernone (poco più di mezza pagina) questa seconda “dimostrazione”.
Calcolo volume piramide di base quadrata di lato 2L (mi ero reso conto ieri sera che i calcoli con base semplicemente L erano un po’ più complicati perché io consideravo il quarto di parallelepipedo con la stessa base!) e altezza H.
- Ne considero uno “spicchio” che corrisponde a un quarto del parallelepipedo.
- Calcolo f(x): ovvero la funzione che “taglia” il volume del parallelepipedo verde.
- Calcolo g(x)=f(x)^2 : cioè applico due volte la funzione f(x) al parallelepipedo verde per considerare l’effetto del taglio causato dai due piani (corrispondenti a due dei lati del corrispondente spicchio di piramide).
- Ora, e questo è forse il passo più difficile, in percentuale quanto volume mi rimane dopo aver applicato i due tagli (ovvero g(x))? Semplicemente il rapporto fra l’integrale di g(x) fra 0 e H e l’area del rettangolo di cui la retta, f(x), ne è la diagonale!
- Calcolo quindi G(x) come integrale di g(x)
- Il rapporto cercato R è quindi: R = G(H)-G(0) fratto LH ←
- Il volume dello spicchio di piramide sarà quindi R*Volume Parallelepipedo verde, cioè R*L^2*H
- Per ottenere il volume della piramide basterà moltiplicare tale valore per 4 ottenendo quindi 4*R*L^2*H
Facciamo i calcoli:
Per trovare f(x) basta risolvere il sistema della retta (Y=qX+m) che passa per le due coordinate (0, L) e (H, 0).
Cioè:
1- L=q*0+m
2- 0=Hq+m
1- m=L
2- q=-L/H
quindi f(x)= -(L/H)*x + L
quindi g(x)= f(x)^2 = (L^2/H^2)*x^2 + L^2 – 2*(L^2/H)*x
quindi G(x)= integrale di g(x) = ((L^2/H^2)/3)*x^3 + L^2*x – (L^2/H)*x^2
Posso quindi calcolare il rapporto R=(G(H)-G(0))/L^2*H ←
Ovvero:
G(H)/L*H perché G(0) è uguale a zero.
Cioè:
(((L^2/H^2)/3)*H3 + L^2*H – (L^2/H)*H^2)/L^2*H
semplifico
(L^2*H/3 + L^2*H - L^2*H)/L^2*H
e, “magia”, rimane R = 1/3 !
Il volume della piramide è quindi 4*R*L^2*H = 4/3*L^2*H
Sono andato poi a controllare la formula in rete ed è questa! Anzi è valida per qualsiasi piramide (*1): la formula dice infatti che il Volume è pari alla Base * Altezza / 3. Nel mio caso il lato della base è 2*L quindi la base è 4*L^2…
Il sito che ho trovato spiega che il volume della piramide equivale a quella di un “prisma” (base per altezza) divisa per 3: evidentemente la mia idea di comporre la piramide con altri solidi geometrici non era peregrina anche se non mi è riuscito concludere niente...
Bellino vero? Cioè per un matematico è tutta roba banale questa ma io è la prima volta che applico ragionamenti di questo genere: per me è stato un buono sforzo creativo e ne sono molto soddisfatto…
Ma veniamo all’errore evidenziato da due freccine ← rosse.
Da una parte spiego che R è il rapporto fra l’integrale e l’area del rettangolo L*H (*2) ma poi divido invece per L^2*H semplificando così tutto e ottenendo il corretto 1/3.
Come mai devo dividere per L^2*H e non per L*H?
Non sono sicuro… Ipotizzo che quando calcolo g(x) moltiplicando insieme f(x) per f(x) aggiungo una dimensione: il rapporto per tanto non va calcolato sul rettangolo L*X ma sul parallelepipedo L^2*H. Questo sembra ragionevole ma a questo punto non sono più sicuro di come mai mi basti considerare l’area (quindi due dimensioni) sotto g(x)…
Proverò a chiedere a chi ne sa più di me e vi farò sapere!
Ripensandoci però mi pare logico: anche la semplice f(x) la applico a un volume e comunque la trasformi dovrò continuare ad applicarla a un volume: ma allora perché il semplice integrale G(x)?
Mi chiedo se non debba trattarsi di qualcosa di più “esoterico” come un integrale di tipo diverso… Basta chiederò!
Conclusione: ma perché mi sono messo a calcolare il volume di una piramide? Perché tempo fa cercavo di ricavare una formula per la sommatoria dei primi N quadrati: forse ne riparleremo...
Nota (*1): si in effetti è vero: R non dipende da L e H quindi in generale basta sommare il volume dei quattro parallelepipedi di base diverse mentre nel mio caso basta calcolarne uno e moltiplicare il risultato per 4, ma alla fine è sempre Base*H/3...
Nota (*2): per qualche motivo sul quadernone avevo scritto 2*L*H...
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