Premessa:Lo scorso martedì mi sono imbattuto nel seguente cinguettio: Teorema di Viviani.
Tale teorema mi ha colpito per più motivi: innanzi tutto era carina la “dimostrazione animata” (troppo veloce per comprenderla ma convincente!), poi la sua tesi era elegante (“la somma delle altezze di un punto all’interno di un triangolo equilatero è uguale all’altezza di questo”) e infine perché “Viviani” era il cognome di mia mamma.
A sera ho spedito questo cinguettio a mio cugino (un altro Viviani) congratulandomi con lui; il giorno dopo devo averci pensato distrattamente in auto mentre andavo dal dentista: difficile quantificare per quanto ma direi per un tempo dell’ordine dei 20 minuti (senza concludere niente)…
Ieri, giovedì, ho poi chiesto a mio padre se sapeva questo teorema: mi ha risposto di no ma almeno conosceva il suo autore: non mio cugino ma un allievo di Galilei (secondo mio padre: non ho verificato!).
Stanotte, verso le 4:00, mi sono svegliato e, per qualche motivo, mi è tornato in mente detto teorema. Mi è così venuta la balzana idea, per divertirmi, di cercare di dimostrarlo al buio, ragionandoci a mente (io di solito ragione bene matematicamente solo se armato di biro e di foglio a quadretti).
La “balzanità” dell’idea non sta nel tentare di dimostrare un teorema altrui ma nel farlo di notte: infatti quando penso a problemi matematici finisco per svegliarmi del tutto, è automatico.
Intuitivamente la prima cosa che mi è venuta in mente è stato di iniziare ad applicare il teorema di Pitagora a tutti i triangolini che potevo costruire all’interno del triangolo equilatero: però di notte l’idea non mi attirava. Ero sicuro che mi sarei presto confuso perdendo solo tempo. Ma avevo anche la sensazione che dovesse esserci una dimostrazione più elegante, che non necessitasse del teorema di Pitagora.
Per farla breve dopo 10 minuti di vicoli cechi ho avuto una prima buona intuizione, dopo altri cinque una seconda e subito dopo quella conclusiva. Ho riverificato il tutto (sempre mentalmente) e dopo un tempo totale di 20-25 minuti avevo trovato un’elegante dimostrazione al teorema di Viviani! Sfortunatamente poi sono rimasto sveglio fino alle 6:00 a rimuginarci sopra, a limare la dimostrazione e a decidere come esporla qui sul ghiribizzo!
La mia dimostrazione si basa su un semplice lemma che però viene applicato due volte nella stessa dimostrazione: da qui quella che a me pare eleganza matematica…
Lemma 1
In un triangolo equilatero di lati A, B e C la somma delle distanze, dette hPA, hPB e hPC, di un punto P al suo interno è pari all’altezza H dello stesso triangolo equilatero SE E SOLO SE dato il triangolo equilatero ottenuto tracciando la parallela passante dal punto P e parallela a uno dei lati si ha che la somma delle distanze del punto P, che ora giace su un lato (A”) del nuovo triangolo equilatero, dagli altri due lati sia pari all’altezza (H”) del nuovo triangolo equilatero (ovvero hPB” e hPC”).
La dimostrazione in entrambi i sensi è molto semplice mostrando che hPA è uguale a h” per costruzione. Se ho voglia/tempo dopo aggiungerò anche questi passaggi.
Passo 1
A un qualunque triangolo equilatero con un punto P al suo interno possiamo quindi applicare il Lemma 1.
Passo 2
Ma il nuovo triangolo è ancora equilatero (per costruzione) e il punto P, sebbene giaccia su un lato, è ancora al suo interno.
Possiamo quindi ruotare di 120° questo triangolo e riapplicare a esso il Lemma 1!
Adesso però il punto P si trova esattamente al vertice del “nuovissimo” triangolo equilatero ottenuto: in questo caso possiamo verificare che hPA è pari a zero (perché il punto P è proprio sull’intersezione dei lati A e B”) mentre la distanza hPC” e pari esattamente all’altezza (H”) del “nuovissimo” triangolo visto che esso è equilatero.
Per il Lemma 1 allora, visto che il membro destro è verificato, allora lo è anche il sinistro.
Ma il membro sinistro del lemma 1 applicato al passo 2 corrisponde al membro destro del passo 1: questo significa che anche il membro sinistro di esso è sempre verificato! CVD!!
Conclusione: come ulteriore divertimento vi propongo un problema logico, forse banale:
Com’è possibile che il cugino di KGB abbia cognome “Viviani” se:
1. La mamma di KGB ha cognome “Viviani”.
2. Il padre di KGB NON ha cognome “Viviani” né ha sorelle.
3. La mamma di KGB non ha fratelli.
Nessun commento:
Posta un commento