Qualche giorno fa mi è cascato l'occhio sull'articolo “Fare il mancino sveglia il cervello” del Corriere. Immediatamente i ricordi sono corsi a un altro articolo (del quale ho accennato in La mano sinistra delle tenebre (1/??)), letto anni fa, dove venivano spiegati i benefici dello scrivere con la mano sinistra nel contrastare l'alzheimer. Per questo motivo, curioso di avere ulteriori notizie al riguardo, l'ho letto con molto interesse.L'articolo in realtà è molto generico e, gli unici dati che alla fine mi hanno colpito, sono stati i seguenti:
- Il figlio di due destrimani ha il 10% di probabilità di essere mancino
- Il figlio di un mancino e di un destrimano ha il 19,5% di probabilità di essere mancino
- Il figlio di due mancini ha il 26% di probabilità di essere mancino
Tutto questo è bastato per farmi venire la voglia di studiare più approfonditamente la questione. Ho deciso quindi di provare a ipotizzare diversi modelli genetici per verificare di quanto si discostassero dai valori forniti dal giornale.
In realtà sono andato poco lontano: ho realizzato tre modelli di cui i primi due banali. Il terzo era apparentemente semplice ma la matematica coinvolta era già piuttosto ingarbugliata.
Per il momento mi limito quindi a fare la cronaca delle mie indagini che includono qualche considerazione interessante di cui alcune piuttosto contro intuitive...
Siccome mi ero subito reso conto che la complessità dei calcoli rischiava di scapparmi di mano mi sono appoggiato fin dall'inizio su maxima, un programma GNU di analisi matematica.
Il primo modello è banale ma mi serviva come base e per riprendere confidenza con il programma. In pratica ho supposto l'esistenza di un gene recessivo “o” che determini l'essere mancini. A questo gene ho anche assegnato una percentuale di diffusione fra la popolazione indicandola col parametro “a”.
Questo significa che una persona è mancina se ha entrambi i geni “o” (uno solo non è sufficiente perché, come detto, lo suppongo recessivo).
A questo punto ho calcolato la probabilità che una persona sia mancina:
M → a²
e che sia destrimano:
D → 1-a²
In questo caso ho poi dovuto diversificare fra:
DT1 (Destrimane Tipo 1: nessun gene “o”) → (1-a)²
DT2 (Destrimane Tipo 2: un gene “o”) → 2(1-a)a
Poi ho calcolato la probabilità che da due persone D nasca un M.
Ovviamente queste probabilità variano a seconda che D sia DT1 o DT2. In particolare avremo:
DT1 [+] DT1 → P(M)=0
DT1 [+] DT2 → P(M)=0
DT2 [+] DT2 → P(M)=P(DT2 | D)²/4
Dove P(DT2 | D) è la probabilità che una persona sia DT2 sapendo che è D: ovvero DT2/D
Allo stesso modo ho calcolato la probabilità che da un D e un M nasca un M.
DT1 [+] M → P(M)=0
DT2 [+] M → P(M)=P(DT2 | D)/2
Grazie a maxima ho poi potuto studiare l'andamento di queste funzioni al variare del parametro “a” fra 0 e 1.
Di seguito i risultati:
Il motivo è che tale funzione rappresenta la probabilità che due genitori abbiano figli M indipendentemente dal numero di persone D (che potrebbero essere anche zero). Supponiamo ad esempio che “a” sia 0,9998 e che soltanto due persone della nostra popolazione siano DT2: se queste due persone fanno un figlio qual è la probabilità che questo sia M? Ovviamente 0,25 che è quello che infatti ci dice il grafico. Discorso analogo per i figli di genitori DM.
Non ho disegnato il grafico dei figli di genitori MM perché, ovviamente, è sempre 1: cioè, nella nostra ipotesi, genitori mancini hanno sempre figli mancini.
Il secondo modello è simmetrico: ho supposto che il gene che rende mancini sia dominante (e che sia diffuso con probabilità “a”).
In questo caso avremo che DD darà sempre figli D mentre DM e MM daranno figli M con probabilità diversa al variare di “a”.
Per non complicare troppo il post pubblico solo i grafici risultanti: chi è interessato ai dettagli può leggere il codice per maxima allegato.
Lascio al lettore il compito di trovarne la ragione (suggerimento: studiare come evolvono MT1, con 2 geni dominanti, e MT2, con 1 solo gene dominante, al variare di “a”)...
Beh... uhm... poi mi sono divertito a studiare la questione: pensavo che la spiegazione fosse semplice ma, dopo vari esperimenti (sempre effettuati con l'aiuto di maxima), sono giunto a una possibile spiegazione che mi convince però solo parzialmente. Le mie "indagini" sono commentate nel file per maxima. Sicuramente ci ritornerò sopra: chi ha suggerimenti o idee mi faccia sapere!
Entrambi questi due primi modelli sono totalmente insoddisfacenti perché in alcuni casi, indipendentemente dal parametro "a", danno delle probabilità costanti. In particolare mi riferisco alla probabilità di avere figli mancini di una coppia di genitori mancini (MM) nel primo modello sempre uguale a 1 (invece che 0.26); e a quella di due genitori destrimani (DD) di avere figli mancini sempre pari a 0 (invece che 0.10) nel secondo modello.
Ovviamente, come del resto già sapevo, il motivo è che la situazione reale non è così semplice e che non è determinata da un singolo gene. Così ho deciso di mescolare insieme i due modelli ottenendo, appunto, il terzo modello...
In questo caso ho supposto che 2 geni diversi, uno dominante con diffusione “a” e l'altro recessivo con diffusione “b”, determinino se una persona sia mancina o meno. L'idea è che, per essere mancini, bisogna avere almeno 1 gene del tipo dominante e 2 geni del tipo recessivo.
Cioè di mancini avremo 2 tipi:
MT1:
** (* è il gene dominante)
oo (o è il gene recessivo)
MT2:
*x (oppure x*; dove x è un “non-gene”)
oo
Mentre di destromani avremo ben 7 tipi:
DT1:
**
xo
DT2:
**
xx
DT3:
*x
ox
DT4:
*x
xx
DT5:
xx
ox
DT6:
xx
oo
DT7:
xx
xx
Ovviamente, quando si va a calcolare le probabilità di DD, DM e MM bisogna considerare tutte le combinazioni (con relativa probabilità condizionata) dei DT e MT.
Le varie formule (non escludo di aver fatto qualche errore!) sono presenti nel file allegato con i relativi commenti. Di seguito mostro i grafici al variare di “a” e “b”.
Anche in questi grafici (analogamente a quanto osservato per il Modello 2) si vede come la percentuale di figli M da genitori MM, per alcuni intervalli dei due parametri, decresca al crescere degli stessi.
Per questo ho approfondito la questione e ho studiato non la percentuale di figli M ma il numero effettivo di figli in base al numero di genitori dei vari sottotipi DTi e MTi.
L'idea era che, seppur la percentuale di figli M diminuiva, il loro numero complessivo aumentava ugualmente perché era maggiore il numero effettivo di genitori di un certo tipo.
In pratica ho deciso anche di stimare non solo la probabilità di avere figli mancini di, ad esempio, DT4[+]DT5 ma anche l'ampiezza della popolazione DT4 e DT5.
Per fare questo ho supposto che ogni tipologia di persona (DTi e MTi) si unisse alle altre in base alla proporzione relativa del loro numero. Più complicato a dirsi che a farsi, un esempio:
Supponiamo di avere 3 gruppi di persone con relative percentuali: A 0.5; B 0.3 e C 0.2
Allora gli elementi di A si uniranno agli altri gruppi con le seguenti percentuali:
A [+] A : 0.5*0.5 = 0.25
A [+] B : 0.5*0.3 = 0.15
A [+] C : 0.5*0.2 = 0.10
B [+] A : 0.3*0.5 = 0.15
B [+] B : 0.3*0.3 = 0.09
B [+] C : 0.3*0.2 = 0.06
C [+] A : 0.2*0.5 = 0.10
C [+] B : 0.2*0.3 = 0.06
C [+] C : 0.2*0.2 = 0.04
Non contento ho considerato che la popolazione totale fosse di 100 unità e ho quindi moltiplicato ogni espressione per 100.
In pratica se il gruppo A è composto da 50 persone, B da 30 e C da 20 allora 25 persone del gruppo A si uniscono fra loro, 15 con altrettante persone del gruppo B e 10 con altrettante persone del gruppo C. Analogamente per gli altri gruppi.
Nel mio caso specifico ho preso le vecchie formule per calcolare la probabilità e le ho modificate nel modo seguente:
Dove avevo le probabilità:
P(M da DT1 [+] DT1) = P(DT1 | D)²/4
oppure
P(M da DT1 [+] DT3) = P(DT1 | D)*P(DT3 | D)/4
diventano:
Numero M da DT1 [+] DT1 = 100*P(DT1)²*P(DT1 | D)²/4
e
Numero M da DT1 [+] DT3 = 200*P(DT1)*P(DT3)*P(DT1 | D)*P(DT3 | D)/4
Analogamente per tutte le altre combinazioni di DD, MM e MD... Ah, il 200 è dovuto al fatto che, nei miei calcoli, considero la combinazione DT1 [+] DT3 una sola volta e quindi la devo contare due volte...
Il grafico risultante è il seguente:
Sfortunatamente anche questo grafico non riesce a spiegare un'apparente anomalia: anche considerando le popolazioni dei sottogruppi il numero di figli mancini decresce all'aumentare del parametro. In realtà si vede (invero a malapena e solo dalla giusta prospettiva!) come per "b"=1 e "a" fra 0.5 e 0.7 (come nel modello 2 infatti) il numero di figli M decresca leggermente.
Come lo spiego? Beh, o il modello 2 è sbagliato, ma non credo oppure ho fatto degli errori di calcolo, possibile ma improbabile, oppure si tratta di un errore di interpretazione del modello.
Cioè io ho costruito un modello per calcolare la probabilità di avere figli mancini ma poi finisco per interpretarlo come uno specchio della popolazione. Eppure...
Se qualcuno ha qualche idea mi faccia sapere!
Ecco il codice per maxima (per eseguirlo usare il comando batch("nomefile") e non load("nomefile") come cercavo di fare io!):
/* Modello I --------- 1 Gene recessivo (o) --> Mancino; con P(o)=a Destro (D): xx --> DT1 ox (e xo) -->DT2 Mancino (M): oo D con D DT1 [+] DT1 -> P(M)=0 DT1 [+] DT2 -> P(M)=0 DT2 [+] DT1 -> P(M)=0 DT2 [+] DT2 -> P(M)=P(DT2 | D)*P(DT2 | D)*1/4; con P(DT2 | D)=P(DT2)/P(D) D con M DT1 [+] M -> P(M)=0 DT2 [+] M -> P(M)=P(DT2 | D)*1/2 M con M M [+] M -> P(M)=1 */ M: a*a; DT1: (1-a)*(1-a); DT2: 2*a*(1-a); D: DT1+DT2; TOT: rat(M+D); PDT2dD : DT2/D; PMcDD: rat(PDT2dD*PDT2dD/4); PMcDM: rat(PDT2dD/2); PMcMM: 1; ev(M, a=.1); ev(D, a=.1); ev(PMcDD, a=.1); ev(PMcDM, a=.1); ev(PMcMM, a=.1); ev(M, a=.3); ev(D, a=.3); ev(PMcDD, a=.3); ev(PMcDM, a=.3); ev(PMcMM, a=.3); ev(M, a=.5); ev(D, a=.5); ev(PMcDD, a=.5); ev(PMcDM, a=.5); ev(PMcMM, a=.5); /* plot2d([M,D],[a,0,1],[legend,Mancini, Destrimani]); plot2d([PMcDD,PMcDM],[a,0,1],[legend,DD, DM]); */ /* Modello II ---------- 1 Gene dominante (o) --> Mancino; con P(o)=a Destro (D): xx --> D Mancino (M): oo --> MT1 ox (e xo) --> MT2 D con D D [+] D -> P(M)=0; D con M D [+] MT1 -> P(M)=P(MT1 | M)*1 D [+] MT2 -> P(M)=P(MT2 | M)*1/2 M con M MT1 [+] MT1 -> P(M)=P(MT1 | M)*P(MT1 | M) MT1 [+] MT2 -> P(M)=P(MT1 | M)*P(MT2 | M) MT2 [+] MT2 -> P(M)=P(MT2 | M)*P(MT2 | M)*3/4 */ MT1 : a*a; MT2 : 2*a*(1-a); M : MT1 + MT2; D : (1-a)*(1-a); TOT: rat(M+D); PMT1dM : MT1/M; PMT2dM : MT2/M; PMcDD: 0; PMcDM: rat(PMT1dM+PMT2dM/2); PMcMM: rat(PMT1dM*PMT1dM+PMT1dM*PMT2dM+PMT2dM*PMT2dM*3/4); /* Stima popolazione NMDMT1 : 200*D*MT1*PMT1dM; NMDMT2 : 200*D*MT2*PMT2dM/2; NMDM : NMDMT1 + NMDMT2; NMMT1MT1 : 100*MT1*MT1*PMT1dM*PMT1dM; NMMT1MT2 : 200*MT1*MT2*PMT1dM*PMT2dM; NMMT2MT2 : 100*MT2*MT2*PMT2dM*PMT2dM*3/4; NMMM : NMMT1MT1+NMMT1MT2+NMMT2MT2; NMTOT : NMMM+NMDM; dNMDM : diff(NMDM,a); dNMMM : diff(NMMM,a); */ /* Stima # geni NGDMT1 : 200*D*MT1*PMT1dM; NGDMT2 : 200*D*MT2*PMT2dM/2; NGDM : NGDMT1+NGDMT2; NGMT1MT1 : 100*MT1*MT1*PMT1dM*PMT1dM*2; NGMT1MT2 : 200*MT1*MT2*PMT1dM*PMT2dM*3/2; NGMT2MT2 : 100*MT2*MT2*PMT2dM*PMT2dM; NGMM : NGMT1MT1+NGMT1MT2+NGMT2MT2; NGTOT : NGDM+NGMM; dNGTOT : diff(NGTOT,a); */ /* Ulteriori indagini: plot2d([NMDM,NMMM,NMTOT],[a,0,1],[legend,"DM","MM","TOT"]); plot2d([NMDMT1,NMDMT2,NMMT1MT1,NMMT1MT2,NMMT2MT2,MT1*100,MT2*100,D*100],[a,0,1],[legend,"D-MT1","D-MT2","MT1-MT1","MT1-MT2","MT2-MT2","P_MT1","P_MT2","P_D"]); plot2d([200*D*MT1,200*D*MT2,200*D*MT1+200*D*MT2,100*MT1*MT1,200*MT1*MT2,100*MT2*MT2,100*MT1*MT1+200*MT1*MT2+100*MT2*MT2,100*D*D],[a,0,1],[legend,"GEN: D-MT1","GEN: D-MT2","GEN: D-M","GEN: MT1-MT1","GEN: MT1-MT2","GEN: MT2-MT2","GEN: M-M","GEN: D-D"]); plot2d([200*D*MT1+200*D*MT2,100*MT1*MT1+200*MT1*MT2+100*MT2*MT2,100*D*D,NMDM,NMMM,NMTOT,D*100,MT1*100,MT2*100],[a,0,1],[legend,"GEN: D-M","GEN: M-M","GEN: D-D","M da DM","M da MM", "M Tot","Pop: D","Pop: MT1","Pop: MT2"]); plot2d([10*NMDM,10*NMMM,10*NMTOT,dNMDM,dNMMM,dNMMM+dNMDM],[a,0.2,0.7],[legend,"M da DM","M da MM", "M Tot","dDM","dMM","Diff"]); plot2d([100*M,100*D,NMTOT],[a,0,1],[legend,Mancini, Destrimani,"Nuovi Mancini"]); plot2d([NGTOT, dNGTOT],[a,0.2,0.7],[legend,"# Geni","Andamento"]); CHIAVE: plot2d([100*M,100*D,NMTOT,50*M+NMTOT/2],[a,0,1],[legend,Mancini, Destrimani,"Nuovi Mancini","TotManc"]); */ /* plot2d([M,D],[a,0,1],[legend,Mancini, Destrimani]); plot2d([PMcDM, PMcMM],[a,0,1],[legend, DM, MM]); plot2d([PMcDM, PMcMM,MT1,MT2, PMT1dM, PMT2dM],[a,0,1],[legend, DM, MM, MT_1, MT_2, MT1_M, MT2_M]); */ ev(M, a=.1); ev(D, a=.1); ev(PMcDD, a=.1); ev(PMcDM, a=.1); ev(PMcMM, a=.1); ev(M, a=.3); ev(D, a=.3); ev(PMcDD, a=.3); ev(PMcDM, a=.3); ev(PMcMM, a=.3); /* ev(PMT1dM, a=.3); ev(PMT2dM/2, a=.3); ev(PMT1dM*PMT1dM, a=.3); ev(PMT1dM*PMT2dM, a=.3); */ ev(M, a=.5); ev(D, a=.5); ev(PMcDD, a=.5); ev(PMcDM, a=.5); ev(PMcMM, a=.5); /* Modello III ----------- 1 Gene dominante (*) 2 Gene recessivo (o) --> Mancino; con P(*)=a e P(*)=b Mancino (M): (deve avere almeno 1 gene dominante * e 2 geni recessivi o) 1: ** 2: oo --> MT1 1: *x (oppure x*) 2: oo --> MT2 Destro (D): 1: ** 2: xo (oppure ox) --> DT1 1: ** 2: xx --> DT2 1: *x (oppure x*) 2: ox (oppure xo) --> DT3 1: *x (oppure x*) 2: xx --> DT4 1: xx 2: ox (oppure xo) --> DT5 1: xx 2: oo --> DT6 1: xx 2: xx --> DT7 D con D DT1 [+] DT1 -> P(M)=P(DT1 | D)*P(DT1 | D)/4 DT1 [+] DT2 -> P(M)=0 DT1 [+] DT3 -> P(M)=P(DT1 | D)*P(DT3 | D)/4 DT1 [+] DT4 -> P(M)=0 DT1 [+] DT5 -> P(M)=P(DT1 | D)*P(DT5 | D)/4 DT1 [+] DT6 -> P(M)=P(DT1 | D)*P(DT6 | D)/2 DT1 [+] DT7 -> P(M)=0 DT2 [+] DT2 -> P(M)=0 DT2 [+] DT3 -> P(M)=0 DT2 [+] DT4 -> P(M)=0 DT2 [+] DT5 -> P(M)=0 DT2 [+] DT6 -> P(M)=0 DT2 [+] DT7 -> P(M)=0 DT3 [+] DT3 -> P(M)=P(DT3 | D)*P(DT3 | D)*3/16 DT3 [+] DT4 -> P(M)=0 DT3 [+] DT5 -> P(M)=P(DT3 | D)*P(DT5 | D)/8 DT3 [+] DT6 -> P(M)=P(DT3 | D)*P(DT6 | D)/2 DT3 [+] DT7 -> P(M)=0 DT4 [+] DT4 -> P(M)=0 DT4 [+] DT5 -> P(M)=0 DT4 [+] DT6 -> P(M)=0 DT4 [+] DT7 -> P(M)=0 DT5 [+] DT5 -> P(M)=0 DT5 [+] DT6 -> P(M)=0 DT5 [+] DT7 -> P(M)=0 DT6 [+] DT6 -> P(M)=0 DT6 [+] DT7 -> P(M)=0 DT7 [+] DT7 -> P(M)=0 M con D MT1 [+] DT1 -> P(M)=P(MT1 | M)*P(DT1 | D)/2 MT1 [+] DT2 -> P(M)=0 MT1 [+] DT3 -> P(M)=P(MT1 | M)*P(DT3 | D)/2 MT1 [+] DT4 -> P(M)=0 MT1 [+] DT5 -> P(M)=P(MT1 | M)*P(DT5 | D)/2 MT1 [+] DT6 -> P(M)=P(MT1 | M)*P(DT6 | D) MT1 [+] DT7 -> P(M)=0 MT2 [+] DT1 -> P(M)=P(MT2 | M)*P(DT1 | D)/2 MT2 [+] DT2 -> P(M)=0 MT2 [+] DT3 -> P(M)=P(MT2 | M)*P(DT3 | D)*3/8 MT2 [+] DT4 -> P(M)=0 MT2 [+] DT5 -> P(M)=P(MT2 | M)*P(DT5 | D)/4 MT2 [+] DT6 -> P(M)=P(MT2 | M)*P(DT6 | D)/2 MT2 [+] DT7 -> P(M)=0 M con M MT1 [+] MT1 -> P(M)=P(MT1 | M)*P(MT1 | M) MT1 [+] MT2 -> P(M)=P(MT1 | M)*P(MT2 | M) MT2 [+] MT2 -> P(M)=P(MT2 | M)*P(MT2 | M)*3/4 */ MT1: a*a*b*b; MT2: 2*a*(1-a)*b*b; M : MT1+MT2; DT1 : a*a*2*b*(1-b); DT2 : a*a*(1-b)*(1-b); DT3 : 2*a*(1-a)*2*b*(1-b); DT4 : 2*a*(1-a)*(1-b)*(1-b); DT5 : (1-a)*(1-a)*2*b*(1-b); DT6 : (1-a)*(1-a)*b*b; DT7 : (1-a)*(1-a)*(1-b)*(1-b); D : rat(DT1+DT2+DT3+DT4+DT5+DT6+DT7); TOT : rat(M + D); PDT1dD : DT1/D; PDT3dD : DT3/D; PDT5dD : DT5/D; PDT6dD : DT6/D; PMT1dM : MT1/M; PMT2dM : MT2/M; PMcDD : rat(PDT1dD*PDT1dD/4+PDT1dD*PDT3dD/4+PDT1dD*PDT5dD/4+PDT1dD*PDT6dD/2+PDT3dD*PDT3dD*3/16+PDT3dD*PDT5dD/8+PDT3dD*PDT6dD/2); PMcDM : rat(PMT1dM*PDT1dD/2+PMT1dM*PDT3dD/2+PMT1dM*PDT5dD/2+PMT1dM*PDT6dD+PMT2dM*PDT1dD/2+PMT2dM*PDT3dD*3/8+PMT2dM*PDT5dD/4+PMT2dM*PDT6dD/2); PMcMM : rat(PMT1dM*PMT1dM+PMT1dM*PMT2dM+PMT2dM*PMT2dM*3/4); /* Stima popolazione */ NMDT1DT1 : 100*DT1*DT1*PDT1dD*PDT1dD/4; NMDT1DT3 : 200*DT1*DT3*PDT1dD*PDT3dD/4; NMDT1DT5 : 200*DT1*DT5*PDT1dD*PDT5dD/4; NMDT1DT6 : 200*DT1*DT6*PDT1dD*PDT6dD/2; NMDT3DT3 : 100*DT3*DT3*PDT3dD*PDT3dD*3/16; NMDT3DT5 : 200*DT3*DT5*PDT3dD*PDT5dD/8; NMDT3DT6 : 200*DT3*DT6*PDT3dD*PDT6dD/2; NMcDD:NMDT1DT1+NMDT1DT3+NMDT1DT5+NMDT1DT6+NMDT3DT3+NMDT3DT5+NMDT3DT6; NMMT1DT1 : 200*MT1*DT1*PMT1dM*PDT1dD/2; NMMT1DT3 : 200*MT1*DT3*PMT1dM*PDT3dD/2; NMMT1DT5 : 200*MT1*DT5*PMT1dM*PDT5dD/2; NMMT1DT6 : 200*MT1*DT6*PMT1dM*PDT6dD; NMMT2DT1 : 200*MT2*DT1*PMT2dM*PDT1dD/2; NMMT2DT3 : 200*MT2*DT3*PMT2dM*PDT3dD*3/8; NMMT2DT5 : 200*MT2*DT5*PMT2dM*PDT5dD/4; NMMT2DT6 : 200*MT2*DT6*PMT2dM*PDT6dD/2; NMcDM:NMMT1DT1+NMMT1DT3+NMMT1DT5+NMMT1DT6+NMMT2DT1+NMMT2DT3+NMMT2DT5+NMMT2DT6; NMMT1MT1 : 100*MT1*MT1*PMT1dM*PMT1dM; NMMT1MT2 : 200*MT1*MT2*PMT1dM*PMT2dM; NMMT2MT2 : 100*MT2*MT2*PMT2dM*PMT2dM*3/4; NMcMM : NMMT1MT1+NMMT1MT2+NMMT2MT2; NM : NMcDD+NMcDM+NMcMM; ev(M, [a=.1,b=.1]); ev(D, [a=.1,b=.1]); ev(PMcDD, [a=.1,b=.1]); ev(PMcDM, [a=.1,b=.1]); ev(PMcMM, [a=.1,b=.1]); ev(M, [a=.3,b=.3]); ev(D, [a=.3,b=.3]); ev(PMcDD, [a=.3,b=.3]); ev(PMcDM, [a=.3,b=.3]); ev(PMcMM, [a=.3,b=.3]); ev(M, [a=.5,b=.5]); ev(D, [a=.5,b=.5]); ev(PMcDD, [a=.5,b=.5]); ev(PMcDM, [a=.5,b=.5]); ev(PMcMM, [a=.5,b=.5]); /* plot3d(PMcDD,[a,0,1],[b,0,1],[grid,50,50]); plot3d(PMcDM,[a,0,1],[b,0,1],[grid,50,50]); plot3d(PMcMM,[a,0,1],[b,0,1],[grid,50,50]); plot3d(NMcMM,[a,0,1],[b,0,1],[grid,50,50]); plot3d(NMcDM,[a,0,1],[b,0,1],[grid,50,50]); plot3d(NMcDD,[a,0,1],[b,0,1],[grid,50,50]); plot3d(NM,[a,0,1],[b,0,1],[grid,50,50]); plot3d(D,[a,0,1],[b,0,1],[grid,50,50]); */
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