Da dove partire? Uhm... beh forse, come spesso accade, il criterio cronologico è il più semplice...Ieri pomeriggio ho fatto una nuova sgambettata in centro (v. Due passi in centro) e, appena uscito di casa, mi sono chiesto su cosa riflettere per poi, magari, scriverci un pezzo.
Immediatamente mi è venuto in mente un problemino che più volte mi aveva incuriosito ma sul quale non avevo mai avuto tempo/voglia di pensare: come funziona, matematicamente, il “trucco” per scoprire se un numero è divisibile per 3 (*1)?
Sfortunatamente il problema è banale e, arrivato in fondo alla strada, l'avevo già risolto. Però, per rendere questo pezzo più interessante, non ne voglio spiegare adesso il “trucco”: basti tenere presente che ne ho adattato il principio per risolvere il problema successivo...
Il problema successivo che mi ero poi proposto di risolvere è stato quindi quello di trovare un metodo per verificare se un numero sia (esattamente) divisibile per 7.
Ero conscio che non dovevano esserci “trucchi” facili (altrimenti sarebbero stati famosi!) ma il mio intento infatti era solo quello di avere qualcosa a cui pensare mentre passeggiavo.
Al netto di vari errori di calcolo (oramai sono arrugginito) sulla via del ritorno avevo trovato un metodo: ovviamente piuttosto complicato ma divertente perché “buffo” (*2)...
Tornato a casa mi sono quindi fatto dare un numero di 4 cifre da mio padre per fare una verifica scritta. Di seguito fornisco direttamente il processo “corretto” (ho dovuto fare più prove per eliminare gli errori!).
4237 è divisibile per 7?
423|7
423x3=126|9
126x3=37|8
37x3=11|1
11x3=3|3
3x3=9
Qui inizia la seconda fase:
9+3=12
12+1=13
13+8=21
21+9=30
30+7=37
A questo punto riapplico il metodo appena visto per 37 (invece che per 4237) ma avrei potuto farlo a uno qualsiasi dei passaggi precedenti (dopo mostrerò come).
3|7
3x3=9
7+9=16
Riapplico il metodo precedente per 16...
1|6
1x3=3
3+6=9
Siccome 9 è diverso da 7 allora questo significa che 4237 non è divisibile per 7.
Come spiegavo, già nella seconda fase, a qualsiasi passaggio posso riapplicare il metodo visto. Ad esempio:
9+3=12
12+1=13
1|3
1x3=3+3=6
e poi proseguo:
6+8=14
e di nuovo
1x3+4=7
7+9=16
1x3+6=9
9+7=16
e come abbiamo già visto:
1x3+6=9 che è diverso da 7...
Facciamo un altro esempio:
413|7
413x3=123|9
123x3=36|9
36x3=10|8
10x3=3|0
3x3=9
9+0+8+9+9+7=42
4|2
4*3+2=14
1|4
1*3+4=7 e quindi 4137 è divisibile per 7!
Come funziona “matematicamente” questo metodo?
Beh, per oggi ho già scritto abbastanza e quindi lo lascio al lettore per divertimento!
Suggerimenti: ovviamente questo metodo è basato sulla falsa riga di quello per verificare se un numero è divisibile per 3. E cioè: un numero è divisibile per 3 se tale numero modulo 3 dà 0; e poi 10 % 3 = 1...
Conclusione/curiosità: per quanto suggerito sopra è evidente che in base ottale, per verificare se un numero sia divisibile per 7, basta sommarne le cifre!
Esempio:
0 = 0
1=1
2=2
3=3
4=4
5=5
6=6
7=7
10=8
11=9
12=10
13=11
14=12
15=13
16=14
17=15
20=16
21=17
22=18
23=19
24=20
25=21
etc...
Nota (*1): ovvero sommarne tutte le cifre e verificare se tale somma è pari a 3, 6 o 9...
Ad esempio: 4237 è divisibile per 3? si sommano le cifre: 4+2+3+7=16 → 1+6=7 quindi NO.
Invece: per 4239 si ha 4+2+3+9=18 → 1+8=9 quindi è divisibile per 3 e infatti 4239/3=1413...
Nota (*2): la mia sensazione di “buffo” è piuttosto peculiare: in matematica e non!
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