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martedì 10 gennaio 2017

Donne e teoremi

Conversando/scrivendo con due amiche ho notato quella che mi pare una buffa anomalia logica. Lo so che due signorine non rappresentano l'intero genere femminile ma, chi mi segue lo sa, mi diverto a prendere in giro le donne (*1) e questa mi pare un'altra occasione per farlo!
Insomma magari anche gli uomini possono cadere nello stesso errore: è solo perché i miei amici mi assomigliano molto che non mi è mai capitato di coglierli tanto platealmente in fallo...

Comunque l'anomalia logica è la seguente.
Donna: Affermazione A
KGB: Controesempio B in cui l'affermazione A è falsa.
Donna: Esempio C (e magari D, E, F, etc...) in cui l'affermazione A è vera.

E qui mi fermo e cerco di spiegare alla mia interlocutrice che se lei fa un'affermazione A, e io le propongo un esempio B in cui A non è vera, allora non importa che le mi faccia un esempio C (o anche molti esempi, anche se sono “esperienze personali”!) che conferma la propria affermazione A per “pareggiare” il mio controesempio!
I due interlocutori non sono infatti sullo stesso piano (il genere non c'entra!): chi fa un'affermazione ha l'onere di dimostrare che sia vera mentre l'altra persona cerca di dimostrare che sia falsa.
Ma dimostrare che un'affermazione è falsa è molto più facile che dimostrare che sia vera!
Per mostrare che è falsa basta infatti trovare un (uno = 1) singolo esempio in cui tale affermazione non sia valida per dimostrare che, in generale, essa è falsa.
Invece dimostrare che sia vera è molto più complesso: bisogna trovare delle argomentazioni che siano abbastanza generali da coprire tutti i possibili casi di applicabilità di tale affermazione. Di sicuro citare un esempio (anche se è “un'esperienza personale”!) non dimostra che l'affermazione A sia vera!

Lo stesso vale in matematica: per mostrare che un'ipotesi non è corretta basta trovare un singolo controesempio; invece, per mostrare che un'ipotesi è corretta la si deve dimostrare (e in tal caso si ha quindi un teorema) in “generale”, non per singoli casi.

Facciamo qualche esempio matematico.
Caso 1: Ipotesi/Affermazione falsa (*2): “17 è il numero primo più grande esistente”
Non posso dimostrare che questa ipotesi è vera mostrando degli esempi tipo “5 è primo e più piccolo di 17: vedi che ho ragione io?!” e magari aggiungere “anche 7 è più piccolo di 17! E se 5 e 7 sono più piccoli di 17 allora 17 è il numero primo più grande in assoluto!”.
Al contrario basta indicare un controesempio per mostrare che l'ipotesi/affermazione è falsa. Tipo “19 è primo e maggiore di 17. Quindi 17 non è il primo più grande in assoluto e l'ipotesi iniziale è dimostrata falsa”.
Caso 2: Ipotesi/Affermazione vera (*2): “non esiste un numero primo più grande di tutti gli altri”
In questo caso un controesempio (che non esiste perché l'ipotesi/affermazione è vera) potrebbe avere la forma “No: il numero X è il numero primo più grande di tutti! E quindi non è vero che non esiste un primo più grande di tutti gli altri”.
Per dimostrare che l'ipotesi/affermazione è vera la si deve dimostrare in “generale”: non basta fare dei singoli esempi in cui tale ipotesi sia vera del tipo: Tizio- “Dimmi un numero primo?”; Caio- “5”; Tizio- “13! Vedi che esiste sempre un numero primo più grande degli altri?!”...
Piuttosto si può dire: “Supponiamo che P sia il numero primo più grande: allora prendiamo P e tutti i numeri primi più piccoli di P, moltiplichiamoli insieme e aggiungiamoci 1. Di sicuro il numero che si otterrà sarà più grande di P per costruzione e, sempre per costruzione, non sarà divisibile né per P né per tutti gli altri numeri primi più piccoli di P; il numero ottenuto, per definizione di numero primo, sarà a sua volta primo”. Avendo trovato un modo per ottenere un numero primo più grande di qualsiasi numero primo venga proposto come tale, si è dimostrata l'ipotesi iniziale che quindi si può considerare un teorema.

Ora io non sono Aristotele (v. Ipse erravit) e non credo che le frasi si possano ridurre sempre esattamente a formule logiche sulle quali operare rigide operazione matematiche: sono consapevole che il linguaggio naturale non è abbastanza formale da descrivere esattamente la realtà e illudersi che vi riesca porta a errori o a sillogismi fini a se stessi (magari paradossi non più aderenti alla realtà).

Però si può e si deve comunque usare un minimo di logica nelle proprie affermazioni! Capisco che la dimostrazione non potrà mai essere formale e accurata al 100% e ciò mi sta bene. Ma, viceversa, non si potrà sostenere una propria affermazione limitandosi a proporre un esempio dove questa è vera!

Conclusione: su questo tema avrei molti altri aneddoti divertenti da raccontare...
Una volta discussi per giorni con una mia amica su una questione (non ricordo quale!), ogni volta andando a ricercare le vecchie email per citarle dei passaggi chiave, ripetendo pazientemente più volte argomenti già ripetuti, confutando tutti i suoi ragionamenti... Insomma fu un'esperienza faticosa ed estenuante ma alla fine produssi una email in cui le dimostravo chiaramente che avevo ragione. Già gongolavo pregustando la mia “vittoria” dialettica così faticosamente conquistata ma alla fine lei mi rispose con un semplice: “Sì, hai ragione ma io intendevo XXX su un altro piano parallelo...
Ecco questa cosa dei “piani” paralleli (e non) mi dà l'idea (molto ipotetica!) che discutere di geometria con queste mie amiche sarebbe completamente improduttivo perché esse ragionerebbero con una loro personale (e dai principi variabili!) geometria non euclidea...

Nota (*1): per ripicca per l'essere considerato brutto!
Nota (*2): torna a tutti che devo fare due esempi distinti per il semplice motivo che un singolo esempio concreto non può essere contemporaneamente sia vero che falso, no?

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