In genere, se non ne parlo, significa che dormo bene. A inizio agosto ho messo una zanzariera artigianale alla finestra della mia camera. Questo, mi ha permesso di dormire bene e con tranquillità con la finestra aperta.Ieri sera ero pure più stanco del solito tanto che, mi ero messo a dormire, alle 23:30, circa un'ora prima del solito. Verso le 2:00 mi sono svegliato e sono rimasto vispo e attivo fino alle 6:00.
Nel periodo di insonnia ho seguito la solita routine: sono andato in bagno, ho bevuto, ho letto, ho guardato un po' di TV etc...
Oltre a queste solite cose, mi è tornata alla memoria la leggenda del saggio persiano che inventò il gioco degli scacchi: secondo il mito, il saggio, come ricompensa, chiese al gran visir un chicco di riso (o una lenticchia?) per la prima casa (*) della scacchiera, due per la seconda, quattro per la terza e così via.
Il visir acconsentì, contento di essersela cavata con pochi chicchi di riso, salvo poi scoprire che non c'era in tutta la Persia riso sufficiente per pagare il saggio. A questo punto la leggenda esagera, o più probabilmente lo ha fatto qualche incauto scrittore riportandola, dicendo che il numero di chicchi di riso era così grande che non era possibile scriverlo per intero su un foglio.
Così, mi sono posto la domanda: da quante cifre è composto questo famoso numero di chicchi di riso?
Il mio obiettivo è trovare il numero di cifre del seguente numero
1] NCR
dove NCR è il numero dei chicchi di riso.
Se partendo da un chicco, per ogni casa della scacchiera, si aggiunge un numero doppio di chicchi rispetto alla precedente si ottiene:
2] NCR=2⁰+2¹+2²+2³+..+2⁶³
perché le case della scacchiera sono 64.
Calcolare NCR usando la formula 2] è possibile ma lungo e noioso. Fortunatamente una formula ci viene in aiuto. Facciamo un breve excursus.
Proviamo a rispondere alla prossima domanda generica:
Siano b ed n due numeri interi, a quanto è allora uguale
3a] b⁰+b¹+b²+..+b^n (**)?
Moltiplicando 3a] per b-1 si ottiene:
3b] b¹-1+b²-b+b³-b²+..+b^(n+1)-b^n
semplificando fra loro i termini positivi e negativi, rimane semplicemente (***):
3c] b^(n+1)-1
quindi 3a] è uguale a:
3d] (b^(n+1)-1)/(b-1) (****)
Applicando la 3d] a 2] si ottiene il ben più maneggevole:
4] NCR=2⁶⁴-1
Per procedere oltre è necessario un secondo excursus. Da quante cifre è composto il seguente numero:
5a] 1 * 10^n con n numero intero.
Evidentemente dall'esponente di 10 più 1, cioè:
5b] n+1
Quindi, quante cifre avrà 1*2⁶⁴ (dimentichiamoci momentaneamente del -1)?
Per saperlo basta calcolare per quale n si ha che:
6a] 2⁶⁴=10^n
e poi applicare la formula 5b] per avere il numero di cifre.
Applicando le proprietà base dei logaritmi si ottiene:
6b] 64*ln(2)=n*ln(10)
ovvero:
6c] n=64*ln(2)/ln(10)
Secondo la mia calcolatrice 6c] equivale a 19.2659... applicando poi 5b] si ottiene 20.2659...
Ovvero 20 cifre con l'avanzo di 0.2659... che è una misura di quanto manca ad arrivare alla 21-esima cifra.
Il -1 di 4] non è significativo perché non cambia il numero di cifre. Lo cambierebbe, diminuendolo di 1, se l'avanzo 0.2659... fosse pari a 0 ma, evidentemente, non lo è!
Insomma il numero di chicchi di riso è enorme, dell'ordine di 100 miliardi di miliardi, ma, tale numero, si può scrivere senza troppi problemi!
Quindi: MYTH BUSTED!!
Nota (*): La “casa” è il nome di una casella della scacchiera.
Nota (**): leggi “b^n” come “b elevato a n”.
Nota (***): probabilmente sarebbe più corretto dimostrare formalmente per induzione anche questo passaggio ma non voglio appesantire inutilmente il post...
Nota (****): sicuramente questa formula è conosciuta e ha un suo nome, io comunque la scoprii per conto mio in terza (o quarta) liceo quando volli calcolare il numero di proteine, di un certo intervallo di lunghezza, che è possibile ottenere partendo da 20 aminoacidi di base....
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