In questi giorni ho continuato a ripensare al problema che avevo lasciato un po' in sospeso in Errore di vollume di piramide.Delle amiche matematiche contattate una si è defilata e l'altra non mi ha risposto quindi sono rimasto da solo a risolvere il piccolo enigma. Ho ripreso anche i libri di Analisi 1 e 2 per rinfrescarmi le idee sulla teoria: beh, il testo di analisi 2 ancora non l'ho toccato ma su quello di Analisi 1 ieri ho passato oltre due ore a riguardare vari teoremi.
Alla fine sono giunto alla conclusione che il calcolo del volume di una piramide è un caso banale di applicazione degli integrali DOPPI. Una volta che ricapisco come funzionano vedrò di calcolare il volume della piramide utilizzando questi strumenti.
Nel frattempo però ho anche compreso dove sbagliavo nel mio ragionamento e come correggermi.
Per il significato delle varie funzioni rimando al precedente pezzo (Errore di vollume di piramide).
La funzione f(x) lega un valore y al variare di x corrispondente a un punto dell'altezza della piramide. Concettualmente y indica un volume: quello rimanente e non tagliato via dal piano (perché in effetti dovrebbe essere y=f(x,z) ma siccome z è irrilevante l'ho semplificata in f(x)).
Analogamente g(x), ottenuta come f(x)*f(x), lega un'altezza a un volume. Quindi anche se siamo su due dimensioni, l'area sotto la funzione g(x), ovvero l'integrale G(x) di g(x), indica a sua volte un volume e non una superficie.
Per normalizzarlo, per trovare cioè il rapporto della sezione di piramide con quella di parallelepipedo, è quindi corretto dividere l'integrale di G(x) col volume del parallelepipedo!
In qualche maniera che non mi è ancora chiarissima, probabilmente sfruttando la simmetria dei piani che definiscono la piramide, sono riuscito a fare a meno del calcolo dell'integrale doppio.
Ho trovato infatti con semplicità la funzione g(x) che lega all'altezza della piramide la relativa “fetta” di volume: in questa maniera l'integrale di g(x) restituisce non un'area ma un volume. Quindi è corretto dividerlo per il volume L*L*H e non per l'area L*H.
Chiarissimo vero?!
Conclusione: però che fatica capire le dimostrazioni del mio vecchio libro di testo (che infatti non avevo mai aperto)!! Mancano sempre due o tre passaggi chiave (spesso consecutivi) in ogni dimostrazione: si arriva cioè a dei punti dove non è chiaro come si passa al passaggio successivo.
Io nella banalità delle mie dimostrazioni mi sforzo di spiegarle bene, passo passo, senza saltarne nessuno...
Modificato 4/6/2019: Aiuto! Adesso non mi torna più un altro punto!
Perché calcolo g(x) come f(x)*f(x)? Secondo me dovrebbe essere g(x)=f(f(x)) ma in questo modo non torna più niente!
Possibile che abbia avuto il culo incredibile di aver fatto due errori di ragionamento che mi hanno portato comunque al risultato corretto? O magari ho anche fatto qualche banale errore di calcolo?
Ci ripenserò... Credo che quando arriverò a riguardarmi gli integrali doppi mi chiarirò le idee...
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