Cubetti coraggiosi

Ieri sera avrei finito di leggere La solitudine del satiro e, sicuramente, ci scriverò un pezzo perché il libro mi è piaciuto moltissimo: probabilmente ce ne potrei scrivere parecchi vista l’abbondanza di spunti intelligenti, spiritosi, curiosi o profondi, però…

...però oggi voglio scrivere un rilassante (almeno per me!) pezzo di argomento matematico…

Nella conclusione a Errore di vollume di piramide (*1) accennavo al fatto che mi interessava calcolare il volume di una piramide per poter calcolare la somma dei primi N quadrati: ecco, oggi spiegherò proprio cosa avevo in mente di preciso…

Prima è necessaria però una premessa “storica”: probabilmente l’ho già scritto altrove ma, all’epoca della prima media, mio padre mi sfidò a calcolare la somma dei primi N numeri naturali. Ci pensai qualche minuto (ricordo che eravamo in macchina) e poi gli risposi: “N al quadrato fratto due più N diviso due” ovvero: N^2/2 + N/2
Come ero arrivato a questa formula?
Semplicemente mi ero immaginato i numeri naturali come tanti quadratini allineati l’uno sotto l’altro. Qualcosa del tipo:
□
□□
□□□
□□□□
□□□□□
etc…
Mi pare evidente che la figura ricordi parecchio un triangolo rettangolo isoscele con lato e altezza pari a N. Il numero totale di quadratini sarà quindi uguale all’area di tale triangolo (N^2/2) con una correzione: i quadretti sulla diagonale vengono tagliati a metà da essa, per trovare il numero di quadretti interi devo quindi aggiungervi le parti tagliate via, ovviamente N/2…

Qualche mese fa, non ricordo più perché (qualcosa a riguardo della somma/differenza di cubi mi pare), cercavo di calcolare la somma dei primi N quadrati.
Ovviamente mi ricordai del mio vecchio metodo con i quadretti e mi resi subito conto che, in questo caso, se pensavo alle unità come singoli cubetti allora la somma dei primi N quadrati la potevo vedere come il calcolo del volume di una piramide con base N e altezza N più “qualche correzione”…
Come sapete qui mi fermai perché non sapevo calcolare il volume di una piramide: ma a questo ho rimediato nei recenti pezzi matematici ai quali rimando (v. Solita piramide e precedenti)…

Oggi mi ero quindi deciso a calcolare con precisione le “correzioni” necessarie a calcolare esattamente la somma cercata: in pratica si tratta delle “fette” di cubetti tagliate via dai lati piani della piramide.
Inizialmente mi ero immaginato una bella piramide con gli strati di cubetti piazzati esattamente nel mezzo al livello precedente: insomma delle vere e proprie piramidi a gradoni.
L’idea era quella di calcolare il volume della piramide (N^3/3) e di aggiungervi i volumi dei cubetti tagliati via lungo le 4 diagonali e le 4 facce della piramide.
Mi sono però subito reso conto che esiste una disposizione più “comoda” con cui disporre i diversi strati di cubetti: l’idea è di impilare ogni ogni strato sopra il precedente partendo dall’angolo in alto a sinistra (guardando il tutto dall’alto). In questa maniera ottengo una piramide che mi taglia i cubetti da cui è composta soltanto lungo una sola diagonale e due facce (invece che quattro e quattro come nella costruzione precedente).

Così ho iniziato ad analizzare la diagonale: mi sono subito reso conto (ormai ci ho fatto l’occhio alle piramidi!) che ogni singolo cubetto racchiudeva una piramide con la base quadrata e il vertice su uno dei quattro angoli del lato quadrato superiore. L’area di tale piramide era 1*1*1/3 ovvero 1/3 e quindi la quantità di cubetto tagliata via era di 2/3.
Siccome i cubetti lungo tale spigolo sono N un primo aggiustamento consiste nell’aggiungere (2*N)/3 al volume della piramide.

Sono poi passato ad analizzare i cubetti “tagliati” dalle due facce della piramide: anche in questo caso è facile vedere che vengono tagliati esattamente a metà. Devo quindi aggiungere ½ per ogni cubetto “tagliato” dalle facce della piramide. E quanti sono tali cubetti?
Osservando il mio disegnino (che, mi fa fatica, ma aggiungerò alla fine di questo pezzo) è evidente che si tratti della somma dei primi (N-1) interi per ogni faccia.
In totale quindi:
2 * ((N-1)^2+N)/2 * ½ =
= (N^2 – 2N + 1 + N – 1)/2 =
= (N^2 – N)/2

Allora la somma dei primi N quadrati è:
N^3/3 + 2/3N + N^2/2 – N/2 =
= N^3/3 + N^2/2 + N/6

Facciamo qualche riprova:
N = 1
S = 1/3 + 1/2 + 1/6 = 1 Va bene!

N = 2 (ovvero 1 + 4 = 5)
S = 8/3 + 4/2 + 2/6 = 18/6 + 2 = 5 Va bene!

N = 3 (ovvero 1 + 4 + 9 = 14)
S = 27/3 + 9/2 + 1/2 = 9 + 10/2 = 14 Va bene!

E tanto mi basta…

Conclusione: ho notato qualcosa di interessante su cui dovrò riflettere… chissà...

ah! dimenticavo la foto dei miei appunti: alla fine è più complicato a scriversi che a farsi!

Nota (*1): molti mi hanno fatto notare che “volume” si scrive con una sola L e non due: lo so, grazie! Era una (probabilmente cattiva) battuta che avevo inserito volontariamente nel titolo visto che anche nelle mie formule avevo inserito una L (per lato) di troppo...

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