Sono da mio padre e, ovviamente, mi annoio: ho sbadigliato per un bel po' oziando su FB e Twitter e poi mi sono ricordato del “solito” problema della piramide e di un'idea che mi era venuta in mente notti fa...Ecco dunque: ci eravamo lasciati con Piramide risolta (anche no) dove mi chiarivo un problema ma me ne creavo un altro. In pratica trovavo giusto dividere g(x) per il volume L*L*H ma non mi tornava più come mai avevo calcolato g(x) come f(x)*f(x) e non f(f(x))...
Allora ci ho ripensato cercando di ricordare il mio ragionamento iniziale. All'epoca ero concentrato sul fatto che ogni piano divideva il quarto di parallelepipedo (e di piramide) per 2: avevo in mente una moltiplicazione per ½ anche se ero consapevole che tale valore variava al variare della X ovvero della posizione lungo l'asse dell'altezza (pensavo alla piramide come se fosse sdraiata, con la base a sinistra e il vertice a destra).
La funzione f(x) mi avrebbe dovuto dare il coefficiente per cui moltiplicare il volume al variare della x e non direttamente un volume: come si vede nella scansione in Errore in vollume di piramide sull'asse Y avevo inizialmente fatto passare la retta dal punto (0,1): solo in seguito mi era parso naturale "normalizzare" il tutto inserendo i punti (0,L) e (H,0) da cui far passare la retta, etc, etc...
Così ho pensato di estremizzare questa idea: partire dalla retta che passa per i punti (0,1) e (1,0) e poi normalizzare per base (L) e altezza (H).
In questa maniera f(x) (funzione da [0,1]→[0,1]) avrebbe restituito non un volume ma un coefficiente da normalizzare ma che aveva quindi senso moltiplicare ancora per f(x). A quel punto, normalizzati i valori di ingresso e uscita, avrei potuto moltiplicare idealmente per il volume unitario 1 ottenendo quindi un volume: per trovare il rapporto R si deve quindi dividere G(H) (con G(x) pari a l'integrale di g(x)) per il volume L*L*H.
Ecco i miei calcoli:
f(x)=-x + 1 (cioè la retta che passa per 0,1 e 1,0)
Normalizzarla in ingresso significa dividere x per H, normalizzarla in uscita moltiplicare per L il suo risultato.
Si ottiene quindi:
g(x)=L*f(x/H)*L*f(x/H)=
=L*L*(-x/H+1)*(-x/H+1)=
=L^2*(-x/H+1)^2
Quindi:
G(x)= L^2*(x^3/3H^2 -x^2/H +x)
Il volume cercato è quindi:
G(H)-G(0) ovvero G(H) perché G(0) è zero...
G(H)=L^2*(x^3/3H^2 -x^2/H +x)=
=L^2*(H^3/3H^2 -H^2/H +H)=
=L^2*(H/3 -H +H)=
=L^2*H/3
Ottengo quindi il rapporto R dividendo G(H) per L^2*H ottenendo esattamente 1/3!
Come al solito il volume della piramide sarà uguale a 4 volte il volume del quarto di parallelepipedo moltiplicato R.
Cioè: 4L^2*H/3
Ricordando che il lato della piramide è 2L allora si ha che il volume della piramide è base * altezza diviso 3.
Chiaramente l'errore segnalato in Piramide risolta (anche no) è che la f(x) ivi definita non ritorna dei volumi ma dei coefficienti già “normalizzati” ed è quindi corretto calcolare g(x) come f(x)*f(x)*1...
Come funzioni questa normalizzazione non mi è chiarissimo ma mi torna invece il metodo che ho proposto in questo articolo. Sono soddisfatto. Suppongo che quando finalmente ristudierà gli integrali doppi tutto mi diventerà più chiaro!
Conclusione: scusate il mio linguaggio matematico non matematico: ho principalmente scritto per me stesso e non ho avuto voglia di scrivere molto di più specificando tutti i dettagli delle mie idee...
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