Dubbio paranoico

I miei lettori sanno che sono leggermente paranoico e che gioco a poker.
Considerando questi due fattori possiamo immaginare che io mi fidi ciecamente dei vari siti per il poker online? Ovviamente no! Sono sospettosissimo e temo sempre la truffa...

In particolare ho la sensazione che chi gioca le prime partite venga molto favorito dalla buona sorte. Quando poi il giocatore si è affezionato al sito iniziano ad arrivare le mazzate e non si vedono più carte decenti.
Come detto questa è una mia sensazione molto superficiale: anzi più che una sensazione è solo un dubbio che periodicamente si riaffaccia alla mia coscienza.

Recentemente sto attraversando un periodo molto sfortunato e non vedo carte così, utilizzando un software apposito (Hold'em Manager), mi sono messo a controllare varie statistiche.
In particolare sono andato a controllare quante volte mi sono capitate le cosiddette carte Top 5%, le Top 10% e le Top 20% (*1). Come si può intuire dal nome queste carte rappresentano le coppie di partenza più forti con le quali si può iniziare una mano.

I risultati sono stati sconfortanti: statisticamente ricevo le top 5% nel 3% delle mani, le Top 10% nel 5.5% e le Top 20% nel 10.7%.
Certo: da più parti leggevo che per aver statistiche affidabili bisogna avere un DB di almeno 50000 mani mentre io ne ho soltanto 2500 però comunque non mi aspettavo una varianza così alta e soprattutto così negativa!

Ovviamente ho subito pensato alla truffa ma poi mi è venuto un dubbio: perché mai il Top 5% delle mani più forti dovrebbe presentarsi il 5% delle volte (e analogamente per le altre due fasce...)?
Magari "forza" e "frequenza" non sono esattamente la stessa cosa...

Così stamani mi sono divertito a fare qualche calcolo per verificare quale fosse la frequenza delle varie fasce Top...

Prima di tutto ho calcolato quante sono le coppie di partenza (nel Texas Hold'em ogni giocatore riceve due carte).
Visto che le carte sono 52 allora le coppie saranno 52*51=2652 poi però, visto che non voglio considerare due volte 35 e 53, devo dividere per 2 ottenendo 1326.

Poi ho calcolato il numero di coppie base formate da carte di valore diverso (come AK, K9, J2 ma non QQ, JJ o 55).
Ogni carta di un certo valore (K, J, 7, 4, etc) potrà essere accoppiata con una qualsiasi di valore diverso (ad esempio l'A con tutte le carte minori di K; il K con tutte le carte minori di Q e l'A etc...) ovvero 4*48=192. Anche in questo caso non voglio considerare due volte J5 e 5J quindi devo ridividere per 2 ottenendo 96.
Infine, visto che ci sono 13 carte di valore diverso, devo moltiplicare 96*13 ottenendo 1248.

In maniera analoga ho calcolato le coppie formate da carte dello stesso valore (AA, KK, 88, 44 etc...).
Per ogni valore ci sono quattro carte dei diversi semi e ognuna di esse può accoppiarsi con le altre tre: avremo quindi 4*3=12 coppie per ogni valore. Anche in questo caso devo dividere per 2 per non considerare due volte, ad esempio, Acuori-Aquadri e Aquadri-Acuori ottenendo quindi 6. Infine, poiché ci sono 13 valori diversi, in totale le coppie formate da carte dello stesso valore saranno 13*6=78.

Come riprova possiamo verificare che il numero delle coppie formate da carte di valore diverso sommate a quelle di valore uguale dà come risultato il numero di coppie totali. Infatti 1248 + 78 = 1326.

Infine voglio calcolare il numero di coppie di valore diverso dello stesso seme e di semi diversi: ovviamente la loro somma dovrà essere 1248.

Fissata una certa coppia, ad esempio AK, quante sono le sue versioni dello stesso seme? Ovviamente 4.
E quante sono le coppie, ad esempio AK, formate da semi diversi per A e K? Visto che ci sono quattro A e quattro K avremo 4*4=16; a questo numero sottrarremmo le coppie dello stesso seme, quindi: 16-4=12.

Adesso abbiamo già tutti i dati che ci servono ma prima facciamo una verifica: quante sono le coppie formate da carte di valori diversi? Ovviamente 13*12/2 ovvero 78.
Verifichiamo quindi a quanto equivale (12+4)*78=1248 che infatti è il valore che ci aspettavamo.

Il Top 5% sarà formato dal seguente numero di coppie:
AA=6
KK=6
QQ=6
JJ=6
AK=16
Totale: 40 che su 1326 coppie corrisponde al 3.02%

Analogamente il Top 10% avrà le coppie del Top 5% più le seguenti:
Top5%=40
TT=6
99=6
AQ=16
AJs=4
Totale: 72 pari al 5.43%

Infine il Top 20%:
Top10%=72
88=6
77=6
AJ=12 (le 4 coppie di AJs sono già considerate in Top 10%)
AT=16
A9s=4
A8s=4
KQ=16
KJs=4
KTs=4
Totale: 144 pari al 10.86%.

Conclusione: alla luce di questi risultati le mie frequenze sono assolutamente regolari! Sono quindi persuaso della completa onestà del mio sito di poker online? Ovviamente no, altrimenti non sarei paranoico! La "fortuna" può essere manipolata non solo con la distribuzione di carte iniziale ma anche in altre maniere più contorte: ad esempio ricevere un KK quando un altro giocatore ha AA può avere esiti catastrofici per il primo giocatore!
Magari quando avrò più dati verificherò la frequenza teorica di questi eventi per verificare che la mia non sia troppo diversa...

Nota (*1): Vediamo se me le ricordo a memoria... Top 5%: AA, KK, QQ, JJ e AK; Al Top 10% si aggiungono TT, 99, AQ e AJs (la "s" piccola sta per "suited" ovvero dello stesso seme); Al Top 20% si aggiungono 88, 77, AJ, AT, A9s, A8s, KQ, KJs e KTs.

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