Cinque logiche o il buon dittatore

Come spiegato nella premessa di Telefonare no? uscire di casa per una passeggiata con un problema logico/matematico da risolvere sta diventando una piacevole abitudine. Spesso sfortunatamente i problemini si rivelano banali: io mi sforzo di non pensarci fino a quando non sono in strada ma a volte già quando sono per le scale (terzo piano) mi ritrovo a risolverli. Una sensazione molto sgradevole: un po’ come cercare di raggiungere il bagno senza fare in tempo…
Uhm… beh, ripensandoci farsela addosso deve essere più sgradevole, però ci sono delle analogie!

Comunque sta emergendo la mia principale debolezza: non fidarmi della logica/correttezza dell’autore del gioco. Intendo dire che mi vengono dubbi sul fatto che il gioco abbia una soluzione logica che segue le regole indicate ma piuttosto che si debba distorcere qualche parola, che ci sia cioè un trucco, che semplifichi il problema. E in effetti proprio a questo fenomeno ho accennato in Oops! mi sono accorto di essermi dimenticato di pubblicare un pezzo! In pratica raccontavo della mia esperienza con un vecchio gioco gratuito di rompicapo per calcolatore e di come mi ero arreso al terzo livello facile (!) perché mi ero convinto (per ragioni che non spiego qui) che si basasse su un trucco che ne violava le regole...
Il fatto è che questo dubbio sull’onestà del gioco mi toglie concentrazione e fiducia nella possibilità di trovare una soluzione logica. Non mi basta che il video del problema sia pubblicato da un canale dedicato a giochi logici: mi fiderei solo del parere di una mia versione parallela che si sdoppia pochi minuti prima e che, dopo aver visto la soluzione del gioco, mi conferma che essa sia logica come piace a me: solo così riuscirei a impegnarmi al massimo. Prevedibilmente non mi capita quasi mai di essere in questa situazione...

Sia ieri che il giorno prima ho perso più tempo del necessario per colpa di questi dubbi. Del gioco di qualche giorno fa (molto simpatico) non entrerò nei dettagli ma qui avevo trovato una soluzione che distorceva un po’ i vincoli del gioco e non riuscivo più a pensare ad altro nel dubbio di averlo già risolto. In effetti quello che mi “salva” è che essendo per strada non ho altro a cui pensare e quindi continuo comunque a ragionarci. Nello specifico proprio raffinando la mia soluzione col “trucco” sono arrivato poi a quella corretta (e tutto sommato rapidamente, credo 15-20 minuti).

Il problema di ieri invece è stato molto più difficile soprattutto perché mi ero messo a cercare un “trucco” che (fortunatamente: altrimenti non mi avrebbe divertito) non esisteva. Ma prima di anticipare le mie difficoltà è meglio enunciarlo.

IL PROBLEMA
Un dittatore tiene 100 persone perfettamente logiche (lui stesso le ha addestrate “dalla nascita” alla logica, viene sottolineato) prigioniere su un isola da cui non possono evadere. L’unica possibilità che hanno di andarsene è quella di presentarsi di notte dalla guardia di turno e chiedergli di uscire: la guardia controllerà il colore degli occhi del prigioniero e se questi sono verdi lo lascerà uscire altrimenti lo ucciderà.
I prigionieri non possono parlare fra loro o scambiarsi informazioni di sorta né ci sono specchi o altre superfici riflettenti: in pratica ogni prigioniero conosce il colore degli occhi di tutti i suoi compagni ma non il proprio. Ah! E TUTTI i prigionieri hanno gli occhi verdi.
Un giorno, a causa della pressione internazionale, il dittatore è costretto ad accogliere un delegato dell’ONU a cui concede di dare un’unica informazione ai prigionieri purché non aggiunga niente a quanto già sappiano. Il delegato ONU quindi da un palco, rivolgendosi a tutti e 100 i prigionieri, dice: “Almeno uno di voi ha gli occhi verdi”. Dopo di che il delegato se ne va.
La prima notte (i prigionieri possono chiedere alla guardia di andarsene solo la notte e, la mattina successiva, si ritrovano tutti insieme per l’appello) non succede niente, la seconda neppure e così via. La centesima notte però vanno tutti via.
Quale ragionamento perfettamente logico hanno seguito?

SCIUPATRAMA
Il gioco sembra paradossale dato che l’informazione fornita dal delegato ONU non sembra aggiungere niente a quanto i prigionieri già sanno.
Per questo motivo mi ero subito e fortemente convinto che il gioco avesse un odiato “trucco”.
Per dare senso all’affermazione del delegato ho così iniziato a ipotizzare che i prigionieri non sapessero il significato della parola “verde”. Per gran parte dell’andata (sicuramente più di un’ora!) ho iniziato a immaginarmi il delegato che diceva “almeno uno di voi ha gli occhi dirik” con i prigionieri che sapevano che solo chi aveva gli occhi color dirik poteva essere lasciato passare dalla guardia.
Il fatto che il problema avesse sottolineato che i prigionieri fossero nati sull’isola (in realtà un’informazione irrilevante e quindi fuorviante) rendeva vagamente plausibile questa ipotesi…
Inutile dire che questa linea di pensiero non mi aveva portato a niente.

Ora, non ricordo se prima o dopo essermi fermato a prendere un panino a uno “street food” cinese, ho fatto il primo passo verso la soluzione. Probabilmente dopo altrimenti non mi sarei fermato preferendo non distrarmi per continuare a ragionarci.
Ho fatto ciò che avrei dovuto fare dall’inizio: semplificare il problema riducendo il numero dei prigionieri. E probabilmente l’avrei fatto molto prima se non fossi stato sicuro del “trucco”…

1. Se ci fosse stato un unico prigioniero, grazie all’affermazione del delegato “Almeno uno di voi ha gli occhi verdi”, questi già la prima notte se ne sarebbe andato sicuro di essere lui ad avere gli occhi verdi.

2. Supponiamo vi siano due prigionieri A e B. Conviene pensare al caso in cui A ha gli occhi marroni e B gli occhi verdi mettendoci nei panni di B che evidenzierò con delle parentesi, cioè:
- Am
- (Bx)
→ siccome B vede che il suo compagno ha gli occhi marroni se ne va la prima notte.

Mettiamoci ora nei panni di A:
- (Ax)
- Bv
→ il mattino del primo giorno A scopre che B se ne è andato: questo significa che B era sicuro di avere gli occhi verdi e questo significa che A ha gli occhi marroni (e quindi non potrà lasciare l’isola)

Ma cosa succede se anche A ha gli occhi verdi:
- (Ax)
- Bv
→ il mattino del primo giorno A scopre che B è ancora presente: questo significa che B non era sicuro di essere l’unico ad avere gli occhi verdi, questo significa che A ha gli occhi verdi a sua volta. La seconda notte quindi se ne vanno entrambi perché B ha fatto lo stesso esatto ragionamento di A.

3. Supponiamo vi siano tre prigionieri A, B e C:
- Am
- Bm
- (Cx)
→ in questo caso C è sicuro di avere gli occhi verdi e se ne va la prima notte. La mattina successiva, constatando che C se ne è andato, A e B capiscono di avere gli occhi marroni.

Altro caso:
- Am
- Bv
- (Cx)
→ in questo caso C non è sicuro di avere gli occhi verdi (perché vede che anche B li ha verdi) e quindi non esce la prima notte. Al secondo mattino però, constatando che B è ancora presente e sapendo che A ha gli occhi marroni, capisce di aver gli occhi verdi e quindi se ne va la seconda notte insieme a B che ha fatto lo stesso esatto ragionamento.

Ma mettiamoci nei panni di A:
- (Ax)
- Bv
- Cv
→ Quando A il terzo mattino scopre che B e C se ne sono andati capisce di avere gli occhi marroni altrimenti non se ne sarebbero andati (vedi sopra). Questo però significa anche che se avesse trovato all'appello B e C allora avrebbe capito di avere gli occhi verdi e, con ragionamento identico, A, B e C se ne sarebbero andati la terza notte.

4. Il caso con 4 prigionieri è analogo al precedente: si parte supponendo che una sola persona abbia gli occhi verdi (che uscirà la prima notte); se sono due usciranno la seconda notte, tre la terza e così via…
In generale i prigionieri decidono di uscire tutti insieme l’ennesima notte dove n è il numero di compagni che vedono con gli occhi verdi + 1. Ovviamente chi ha gli occhi marroni vede una persona con gli occhi verdi in più rispetto a chi ha gli occhi verdi (e non vede i propri) così tutti coloro che hanno gli occhi marroni vedranno uscire chi ha gli occhi verdi il giorno prima di quanto avevano previsto/sperato capendo così di avere gli occhi marroni.
I cento prigionieri con gli occhi verdi vedono ciascuno 99 prigionieri con gli occhi verdi e, quindi, escono insieme la centesima notte (99 +1).
E questa è la prima logica.

A questo punto, proprio mentre stavo almanaccando sul caso dei 4 prigionieri, sono arrivato a casa.
Mi era già chiara la generalizzazione qui sopra ma non tutti i passaggi mi erano limpidi.
Così mi sono messo alla scrivania e ho buttato giù i miei appunti mentali sul quadernino cercando di esplicitare cosa non mi tornasse: i problemi erano due.

Il primo problema è che l’informazione del delegato ONU aggiunge informazione utile solo quando i prigionieri sono due: se sono tre e hanno tutti gli occhi verdi allora tutti sanno che almeno uno di loro ha gli occhi verdi!
Il secondo problema è che il nostro ragionamento induttivo parte considerando cosa succederebbe se un certo numero di prigionieri avesse gli occhi marroni: ma nella realtà ognuno sa che i propri compagni hanno gli occhi verdi quindi ha senso e trarre conclusioni dall’ipotesi di cosa accadrebbe se avessero gli occhi marroni?
Su questi due aspetti ho ragionato a lungo (un’ora?) senza riuscire a giungere a una conclusione definitiva.
Alla fine mi sono convinto che il delegato avrebbe potuto dire qualcosa del tipo “Ragionate e poi uscite” e, sapendo già che 99 di loro hanno gli occhi verdi, sarebbero potuti uscire tutti la seconda notte…
Secondo logica.

Ma allora che bisogno c’era del delegato ONU? Che almeno 99 prigionieri avevano gli occhi verdi lo hanno sempre saputo: in pratica avrebbero dovuto già essere andati tutti via una volta raggiunta la logica perfetta chissà quanti anni prima che la pressione internazionale forzasse il dittatore ad accettare la missione del delegato ONU…
Terza logica.

Già il dittatore…
Ma se egli ha insegnato la logica perfetta ai 100 bambini/prigionieri è ovvio che anche lui avesse la logica perfetta: da un punto di vista morale discriminare per il colore degli occhi non avrebbe avuto senso. Ogni prigioniero avrebbe dovuto capire che se tutti i suoi compagni avevano gli occhi verdi allora anch’egli li aveva verdi; vice versa se tutti i suoi compagni avessero avuto occhi marroni allora anch’egli li avrebbe avuti di tale colore: discriminare per il colore degli occhi sarebbe stato infatti assurdo.
Quarta logica.

Ma se il dittatore aveva la logica perfetta non avrebbe dovuto immediatamente arrivare alla conclusione che l’informazione data dal delegato ONU avrebbe portato alla liberazione dei suoi prigionieri?
Ovviamente sì: e visto che lo ha accettato volontariamente significa che il dittatore voleva bene ai prigionieri che aveva allevato fin dalla nascita. La verità ultima di questo rompicapo è che il dittatore era buono.
E questa era la quinta logica.

Comunque, diversamente dal solito, ho finito di vedere il video per cercare di gettare luce sui miei dubbi.
Sfortunatamente il video (che è questo: Siete capaci di risolvere il difficilissimo problema logico degli occhi verdi - Alex Gendler) si ferma alla spiegazione della prima logica che ho indicato. Però dà almeno un indizio relativo ai miei dubbi accennando che la chiave del problema è “l’informazione comune”, termine coniato dal filosofo David Lewis: la vera informazione non era costituita dalla semplice affermazione del delegato ONU ma dal fatto che tutti la ricevessero contemporaneamente e che quindi, contemporaneamente, tutti i prigionieri iniziassero a riflettere sul problema logico di quando e se abbandonare l’isola.

Questo significa che mentre la mia seconda logica è corretta (il delegato ONU passa comunque l’informazione comune di iniziare a riflettere sulla fuga) la terza non lo è: questo perché in effetti non sarebbe chiaro quando tutti i prigionieri avessero acquisito la logica perfetta; manca cioè l’informazione comune “siete pronti, iniziate a ragionarci”…
Sulle logiche quattro e cinque non viene aggiunto niente ma l’ipotesi che anche il dittatore sia super logico mi pare corretta e, se lo è, lo sono anche le relative conseguenze!
L’idea del dittatore buono che alleva 100 bambini per renderli super logici e poi liberarli per il mondo una volta superato l’esame finale risveglia troppo la sensibilità del mio animo: anzi sono sicuro che varcato il confine dell’isola prigione il dittatore stava aspettando i “suoi ragazzi” per una commovente festa d’addio in cui avrà consegnato a ciascuno di loro un milione di dollari per sistemarsi e un fucile semiautomatico perché… beh, mi pare un regalo da dittatore…

Conclusione: pezzo più lungo del solito ma, al di là degli scherzi, il concetto dell’informazione comune mi pare molto interessante. Vedrò di investigare un po’ su questo David Lewis...

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