Quando possibile mi piace fare due cose nello stesso momento: vado in bagno e leggo, uso la “cyclette” e guardo la televisione, scrivo un pezzo e ascolto un video etc.Ultimamente, essendo bloccato in città, ne approfitto per lunghe passeggiate dimagranti in centro: il problema è che a camminare mi annoio perché è una cosa sola. Già tempo fa mi era venuta in mente l’idea di cercarmi dei problemi matematico/logici in rete per cercare di risolverli camminando: l’esito fu insoddisfacente. Avevo cercato problemi difficili ma li risolsi dopo nemmeno 100 metri (ma anche 50!): non io bravo ma si trattava di problemini adatti a ragazzi delle scuole medie, altro che difficili!
Così ieri ho provato a cercare su YouTube “problemi logico matematici Google” e ne ho scelti due: uno molto semplice su dei cavalli (di cui non parlerò) e l’altro invece è stato quello che mi sono “portato a spasso” con me!
Tre fratelli vogliono andare a visitare lo zio che vive a 300Km di distanza.
Per raggiungerlo hanno a disposizione una moto su cui però possono viaggiare solo in due alla volta e che ha una velocità di 60Km/h. Chi va a piedi (correndo immagino) si muove invece a 15Km/h.
Il problema è quello di trovare la strategia per minimizzare il tempo necessario (e calcolarlo) affinché tutti arrivino a destinazione.
SCIUPATRAMA da qui in poi!
C’erano parecchi numeri ma, non avendo altro da fare, ho deciso di provare comunque a risolverlo calcolando a mente. Ovviamente mi sono più volte confuso dovendo ripartire da capo (anche per un motivo di cui parlerò in seguito) e ogni volta mi veniva un risultato diverso. Comunque il mio risultato “ufficiale”, per pura fortuna visto che vi avevo fatto due errori (di cui non aggiungerò altro perché me ne vergogno!), era di 9,2 ore e il risultato corretto verificai poi guardando l’intero video del problema, era di 9,28 ore...
La prima difficoltà era trovare la strategia migliore.
In realtà le uniche ragionevoli sono due: 1. La moto, carica di due fratelli, ne porta uno a destinazione e torna poi indietro a prendere l’altro che nel frattempo si è avvicinato correndo; 2. La moto, carica di due fratelli ne molla uno a una distanza tale dall’arrivo che questo, proseguendo correndo, arriverà a destinazione esattamente nello stesso tempo impiegato dal fratello in moto per andare a recuperare quello lasciato indietro e portarlo dallo zio.
Non ci ho perso molto tempo: la seconda strategia mi era subito parsa più efficiente ma in effetti non è banale dimostrarlo. È che a occhio la moto nel secondo caso fa un percorso più breve (ma andrebbe dimostrato) e, di conseguenza, arriva prima a destinazione minimizzando il tempo.
Di questo tipo di problemi avevo una vaghisima esperienza di qualche decennio orsono: ricordavo infatti il problema di una barca che si muove lungo un fiume, che lascia una bottiglia a galleggiare nella corrente, che poi la supera e poi ritorna verso di essa etc. Al di là dei dettagli era facile perdersi nelle equazioni e per questo, senza ricordare altro, mi ero riproposto di non cercare di calcolare “tutto e subito”.
Avevo poi notato che la moto è quattro volte più veloce di chi cammina e quindi, a parità di tempo, percorre quattro volte più strada. Ecco in effetti, capisco adesso, ho eliminato dai miei ragionamenti la variabile tempo limitandomi alla dimensione dello spazio.
Tenendo presente la seconda strategia ho diviso il percorso in tre tappe.
Tappa 1: Il fratello in moto (F2) ne accompagna un altro (F3) fino a un punto del percorso al momento indeterminato. Il terzo fratello (F1) inizia a correre verso la destinazione.
Per quanto detto il fratello a piedi percorre un quarto della distanza della moto. Quindi:
F1=1/4
F2, F3 = 1 o 4/4 se preferite.
Questo è il passaggio matematico/logico che mi aveva confuso: che rappresentano questi numeri da soli? Solo dopo un po’ (camminavo per strada: dovevo stare attento a non essere investito!) mi sono reso conto che potevo fingere che fossero in un’unità di misura che non mi interessava conoscere: l’importante è che fossi coerente e usassi sempre la stessa.
Tappa 2: Il fratello in moto (F2) si ferma prima di giungere a destinazione e lascia a terra il suo passeggero (F3). Poi cambia direzione e torna a prendere il fratello lasciato precedentemente a piedi (F1) e che, nel frattempo, si è comunque avvicinato correndo (e che continuerà ad avvicinarsi mentre la moto torna indietro per caricarlo a bordo).
Al momento in cui la moto (F2) inverte la direzione la distanza fra essa ed F1 è: 4/4 – 1/4 = 3/4
Ora dove si incontreranno esattamente? Ricordando che la moto è 4 volte più veloce significa che F1 avrà percorso 1 e la moto (F2) 4. Quindi F1 avrà percorso 1/5 di 3/4 ed F2 4/5 di 3/4.
F1 quindi 3/20 (in totale allora 1/4 + 3/20 = 8/20)
F2 quindi 12/20 (in totale 32/20 ma in realtà non ci interessa)
Nel frattempo il fratello lasciato vicino alla destinazione (F3) avrà percorso la stessa distanza di F1, ovvero 3/20.
Di nuovo qui, mentre facevo questi calcoli, ero confuso dal significato di queste frazioni. Solo più o meno ai 3/4 del tragitto mi sono, come detto, reso conto che usavo un’unità di misura indeterminata.
Tappa 3: La moto con a bordo F1 e F2 riparte verso la destinazione e vi arriva contemporaneamente a F3. E qui, finalmente, introduco un’incognita.
Come al solito so che la moto avrà percorso 4 volte la distanza del fratello a piedi: se quest’ultima è pari a X allora la moto avrà percorso:
F1, F2: 12/20 (la distanza compiuta dalla moto alla tappa precedente per incontrarsi con F1) + 3/20 (la distanza compiuta da F3 sempre durante la tappa precedente) + X
F3: X
Posso quindi scrivere l’equazione: 12/20 + 3/20 + X = 4X da cui si ha X= 5/20 = 1/4
Quindi la moto percorre 12/20 + 3/20 + 5/20 = 20/20
Ora posso calcolare la distanza totale del tragitto nella mia unità di misura: la distanza totale percorsa da F1 alla fine delle tappa 2 (8/20) a cui si deve aggiungere la distanza percorsa dalla moto alla tappa 3 (20/20) ottenendo 28/20 o 14/10.
Ma il problema richiedeva di calcolare il tempo impiegato dai fratelli per arrivare a destinazione. Siccome questi tempi sono uguali per definizione basta calcolare quello impiegato dalla moto (mi sembrava più semplice). Questo sarà pari a 300Km : 60Km/h = 5h a cui si deve aggiungere il tempo “sprecato” per tornare a prendere il fratello rimasto indietro e tornare fino al punto in cui si era lasciato il precedente: in pratica si deve dividere il doppio (andata e ritorno) della distanza percorsa dalla moto alla tappa 2 e dividerla per la velocità di 60Km/h.
Questa distanza come abbiamo visto è 12/20 e siccome va raddoppiata si ha 24/20 o 12/10 (nella nostra unità di misura indefinita).
Ma come passiamo dalla nostra unità di misura ai Km per calcolare poi il tempo necessario a percorrerli? Facile, basta fare la proporzione:
14/10 : 300 = 12/10 : x
x=300*12/10*10/14=300*6/7 Km
Per trovare il tempo quindi: (300*6/7 Km) : 60Km/h = 30/7 h = 4,28 ore
In totale il tempo necessario ai fratelli per raggiungere lo zio sarà: 4,28 + 5 = 9,28
Allora, il video col problema e la soluzione ufficiale è questo: Google Interview Riddle - 3 Friends Bike and Walk || Logic and Math Puzzle
L’autore mi sembra che risolva il problema più o meno come me ma esplicitando fin da subito con variabili la distanza percorsa. In pratica usa come unità di misura la variabile “p” (o era “q”, non ricordo) poi calcola “p” a quanto equivale etc.
Di seguito la mia versione su carta una volta tornato a casa:
Tanta stima!!! So che non mi fa onore, però ammetto di essermi spaventata nel momento in cui ho letto "ho deciso di provare comunque a risolverlo calcolando a mente"... da lì i miei occhi hanno letto una serie di parole slegate, diventate geroglifici fino ad arrivare ai numeri su carta, diventati, invece, una sequenza di punti interrogativi. Io di sicuro avrei telefonato, e in mancanza di telefono, gli avrei dedicato un intenso pensiero, a mio zio. In fondo si dice sempre che "è il pensiero quel che conta" :))) Comunque riproverò a leggere questo post di mattina, devo sfidare questo senso di inadeguatezza che mi ha colpita. Buona serata! :)
RispondiEliminaLa mia soluzione: lasciare perdere lo zio, mettere la moto sul cavalletto, e cercar funghi nel prato che c'era lì a fianco e che nessuno dei tre aveva notato perché distratto da un problema che, di fatto, è irrilevante.
RispondiElimina@Lisa
RispondiEliminaGrazie per il complimento!
Una mia amica che ogni tanto mi legge mi fece praticamente lo stesso commento sul testo che si trasforma in geroglifici!
In realtà mi viene il dubbio di aver segnalato il dettaglio dei calcoli a mente per vanità (“guardate come sono bravo!”) dato che era implicito che camminando per strada non avrei potuto annotarmi tutti i passaggi chiave come avrei fatto seduto a tavolino.
Ma è anche vero che volevo spiegare che ero conscio del fatto che il problema mi avrebbe richiesto dei calcoli. Quindi non so…
Comunque per dirla tutta, mi sono vergognato a scriverlo, mi ero anche fermato a pensare su delle panchine per concentrarmi meglio! E comunque mi rimane la sgradevole sensazione che da giovane avrei risolto questo problema in metà tempo...
Una riflessione più profonda è quanto la nostra mente si abitui a certi ausili per lavorare efficacemente. Mi impressiona sempre quando leggo come nel medioevo le persone praticamente imparassero a memoria i libri che leggevano (c’è un video di Barbero sulla vita di Dante che ne parla). Perché in realtà è tutto esercizio mentale, pratica e abitudine che però, immagino, debbano svilupparsi già nell’infanzia.
Io senza un quaderno a quadretti da 4mm non mi sento in grado di pensare bene: che alla fine poi ci faccio solo pochi scarabocchi utili però a mettere dei “punti fermi”. Certo non dovrebbe essere difficile farsi queste annotazioni nella mente solo che bisognerebbe esercitarsi per riuscirci efficacemente...
Probabilmente qualcosa di analogo potrebbe accadere ai giovani abituati a rivolgersi costantemente a internet per risolvere i problemi e recuperare informazioni: rischiano di usare la memoria sempre meno e di divenire dipendenti dal mezzo informatico per pensare efficacemente… uhm...
Vabbè, ho divagato: mi capita abbastanza spesso… grazie ancora per il complimento!
@MrKeySmasher
RispondiEliminaEh! eh!
Comunque paradossalmente, io che tendo a scherzare su tutto, prendo questi giochini logico/matematici molto seriamente…
Ieri sera dopo cena sono riuscito per una nuova passeggiata e avevo deciso di trovarmi prima un nuovo problema su cui ragionare. Cosa non banale perché devo scartare quelli troppo facili e quelli troppo matematici o geometrici, comunque ne avevo trovato uno che sembrava essere molto interessante: poi appena ho iniziato a pensarci in strada mi sono reso conto che vi era un’ambiguità nel quesito che sciupava tutto il divertimento. Ecco, allora mi sono molto irritato con l’autore del video per la sua scarsa precisione...
Devo dire che pure io trovo soddisfazione nel pigliare, con una fava, due piccioni.
RispondiEliminaNel senso di fare più cose insieme?
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