Teoremi inutili

Primi che me ne dimentichi voglio accennare ai ragionamenti matematici che mi hanno tenuto sveglio per una nottata e poco più. Ne avevo accennato nei corti Teoremi e seguente dell’altra settimana…

Riassumo brevemente: era da qualche giorno che avevo voglia di “fare” un po’ di matematica e, durante un pomeriggio, mentre ascoltavo musica a occhi chiusi, mi ero rimesso a riflettere su uno dei pochi problemi matematici che conosco: ovvero dimostrare che ogni numero pari può essere espresso come somma di due numeri primi.
Chiaramente sono perfettamente consapevole che si tratta di un problema al di là delle mie capacità: ma se mi diverto che male c’è a giocarci un po’?
E poi da cosa nasce cosa e da idea deriva idea. Ero passato infatti a riflettere su qualcosa di solo vagamente affine: mi chiedevo infatti cosa accadesse ai fattori di due numeri dopo una somma.
Nella moltiplicazione è infatti noto che tutti i fattori si conservano nel prodotto: per esempio 6 (3x2) moltiplicato 10 (5x2) dà 60 (3x2x5x2 ovvero 3x2²x5).
Ero così giunto a queste conclusioni (facilmente dimostrabili):
1. se un fattore è presente in entrambi gli addendi allora sarà presente anche nella somma.
2. se un fattore è presente solo in un addendo allora NON sarà presente nella somma.
Es: 6 (3x2) sommato 10 (5x2) = 16 (2x2x2x2)

Soprattutto la proprietà 2 mi era sembrata interessante: ero giunto alla conclusione che se i due addendi sono formati da tutti i “primi” fattori primi allora il risultato della somma dovrà essere un nuovo numero primo più grande dei precedenti.
Mi spiego meglio: supponiamo di avere i “primi” cinque numeri primi: P1 (1), P2 (2), P3 (3), P4 (5) e P5 (7).
Allora tutte le somme ottenute con addendi dati da sottoinsiemi disgiunti di questi cinque numeri primi daranno nuovi numeri primi.
E su questa idea, ricordo che ero a occhi chiusi, mi ero ripromesso di verificare poi su carta.
Come spiego nel corto Teoremi mi ero poi messo verso le 22:30 a fare qualche prova.
E le prove funzionavano! Vediamo, per esempio, cosa si ottiene con i “primi” cinque numeri primi:
. 1 + 2x3x5x7 = 211
. 2 + 1x3x5x7 = 107
. 3 + 1x2x5x7 = 73
. 5 + 1x2x3x7 = 47
. 7 + 1x2x3x5 = 37
. 2x3 + 5x7 = 41
. 2x5 + 3x7 = 31
. 2x7 + 3x5 = 29
...
(le altre sono permutazioni che portano agli stessi risultati)

Oppure usando solo quattro numeri primi:
. 1 + 2x3x5 = 31
. 2 + 3x5 = 17
. 3 + 2x5 = 13
. 5 + 2x3 = 11
...
(le altre sono permutazioni che portano agli stessi risultati)

Chiaro quindi che sarebbe facile creare un algoritmo che iterativamente trovasse nuovi numeri primi aggiungendoli alla propria lista e così via.

Però la matematica insegna che se qualcosa funziona per alcuni valori non è detto che funzioni sempre! Sapevo quindi di dover fare altre verifiche e sul quadernone dove avevo fatto questi calcoli mi ero appuntato tre teoremi da dimostrare.

Copio a mano, ignorate il linguaggio inesatto: erano appunti per me stesso…
«
. Teorema: la somma di 2 numeri senza fattori comuni non avrà nessuno dei fattori dei 2 numeri.

. Teorema (esiste già): i fattori di un numero n sono tutti minori di radice di n.

. Teorema: bilanciamento prodotto
Come minimizzare la somma di 2 numeri ottenuti dal prodotto di k e n-k fattori tutti diversi fra loro.
- fare prima il caso in cui i fattori sono tutti consecutivi; vedere poi con fattori primi.
»

I primi due teoremi sono banali e così, verso le 00:30, una volta a letto mi misi a pensare al problema più complesso: ovviamente senza venirne a capo ma guastandomi tutto il riposo!
Al mattino, verso le 7:00, pensai di rilassarmi ragionando un po’ sui due teoremi più facili. Il primo è banale (io lo dimostrerei sfruttando che il modulo di un numero è pari al modulo della somma dei moduli dei suoi addendi) ma arrivato al secondo teorema mi resi conto della fregatura della mia idea!

In pratica la funzione fattoriale cresce molto più rapidamente di qualsiasi quadrato: e la somma dei prodotti di due insiemi disgiunti dei “primi” numeri primi è una specie di fattoriale “un po’ dimagrito” ma che, con un numero di elementi abbastanza grande, darà un risultato molto maggiore del quadrato del più grande di essi.

Cosa significa questo?
L’algoritmo quindi funziona ma la sua applicabilità è fortemente limitata dalla condizione vista qui sopra...
L’algoritmo sopra mostrato per trovare nuovi numeri primi, usando i "primi" Pi numeri primi, ci darà sicuramente un numero primo N se questo sarà minore di P(i+1) al quadrato: ora P(i+1) non è noto quindi dobbiamo usare Pi+2 al quadrato.

Cioè per i “primi” 5 numeri primi abbiamo P5=7 quindi P5+2=9 e quindi saranno sicuramente primi tutti i numeri ottenuti minori di 9x9=81. In realtà, sapendo che P6 è 11, saranno primi tutti i numeri minori di 121. Ma questo comunque, per numeri abbastanza grandi, non cambia nulla: il fattoriale cresce molto più rapidamente del quadrato.
È facile supporre che per numeri abbastanza grandi anche la somma più piccola del prodotto di due insieme disgiunti di numeri primi fino a Pi sia molto più grande di (Pi+2) al quadrato.
Tali numeri ottenuti potrebbero sì essere primi ma potrebbero essere anche il prodotto di numeri primi maggiori di Pi, cioè Pi+1, Pi+2 etc...

E fu così che con animo deluso, ma anche un po’ divertito, scrissi il corto Divertente (?). Quello stesso giorno, nel pomeriggio, tornai a rifletterci ascoltando musica a occhi chiusi.
Mi chiesi se fosse possibile modificare l’algoritmo per verificare se i nuovi numeri ottenuti non fossero divisibili per quelli precedentemente trovati (spiegato male ma non è importante) ma alla fine mi resi conto che si dovrebbe dimostrare un altro teorema: “ogni numero primo Pn è ottenibile come somma dei prodotti degli insiemi disgiunti di numeri primi A e B tali che A unito a B sia pari all’insieme di tutti i «primi» n-i numeri primi (con i>0)”. Se così non fosse l’algoritmo potrebbe non individuare il numero primo Pn col risultato di produrre risultati pari alle sue potenze e, ovviamente, non primi!
Se invece il teorema precedente fosse corretto allora (dovrei pensarci meglio) l’algoritmo potrebbe forse essere modificato per funzionare: ma forse tale teorema è solo condizione necessaria ma non sufficiente, non saprei dire così su due piedi…

Conclusione: ma solo io trovo la matematica divertente?

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