Monthy Hall

Mi sono imbattuto nel paradosso “Monty Hall” qualche anno fa e, onestamente, posto davanti a tale problema modestamente detti immediatamente la risposta: sbagliata però…

In realtà è un paradosso solo impropriamente: semplicemente la soluzione del problema è controintuitiva. Suppongo che in Italia sia noto con un nome diverso ma io l’ho conosciuto con quello inglese e quindi lo ripropongo così…

Il problema è il seguente: immaginatevi uno scenario dove un concorrente partecipa a un gioco televisivo e il conduttore gli chiede di scegliere una porta (che NON viene aperta!) fra un gruppo di tre. Dietro una di queste porte c’è in premio una macchina lussuosa, dietro le altre solo due capre.
Il conduttore (che sa dov’è il premio) apre poi una delle due porte NON scelte dal concorrente dove c’è una capra e poi gli chiede se vuole cambiare la propria scelta: ovvero se il concorrente vuole aprire la porta scelta in precedenza oppure quella rimasta chiusa fra le due inizialmente scartate.
Il problema è rispondere alla seguente domanda. Qual è la scelta matematicamente migliore: 1. ribadire la scelta iniziale; 2. cambiare porta; 3. è indifferente.

La soluzione controintuitiva è la 2: è più probabile vincere se si cambia la propria scelta.
Aprendo la porta iniziale abbiamo il 33% di probabilità di vittoria, cambiando invece il 66%.
Il motivo è banale: indovinare al primo tentativo, fra le tre porte, quale sia quella giusta ha una probabilità del 33% mentre la probabilità di sbagliare è del 66%. Quando il concorrente cambia la propria porta passa dalla probabilità di vittoria del 33% a quella del 66%...

Qualche giorno fa l’ho sottoposto a mio padre. Ma mentre glielo raccontavo mi si è insinuato un dubbio. Vi propongo il seguente scenario che è una variante del precedente.
Nel gioco ci sono ancora le tre porte e dietro una di esse c’è la macchina mentre dietro le altre le solite due capre. Il conduttore però stavolta non chiede al concorrente di sceglierne una ma, semplicemente, apre una porta dietro alla quale c’è una capra. Rimangono quindi due porte chiuse: una con la macchina e l’altra con la capra.
Il conduttore chiede al concorrente di scegliere quale porta aprire: in questo caso la probabilità di vittoria è banalmente del 50%.
Ma, mi chiedevo, c’è una differenza sostanziale fra i due scenari? In entrambi i casi il conduttore elimina una porta con dietro una capra e il partecipante deve scegliere fra le due rimaste…
Se non c’è differenza fra gli scenari allora la probabilità di vittoria dovrebbe essere la stessa in entrambi i casi e, non essendo così, avremmo effettivamente un paradosso.

In realtà dopo una “lunga” riflessione di un buon 10 minuti (ero in strada che camminavo per andare a cena con amici) ho notato la differenza: nel primo scenario il conduttore elimina una porta scegliendola nel sottogruppo di quelle non scelte dal concorrente, nel secondo la elimina fra tutte e tre.
Sembra poco? Non cambia niente?
In realtà non è così: la differenza è sostanziale e lo si può mostrare facilmente con un terzo scenario.
Supponiamo che in una terza variante del gioco televisivo vi siano 1000 porte: dietro una di queste c’è la macchina mentre dietro le altre 999 vi sono altrettante capre.
Il concorrente deve scegliere una porta (che rimane chiusa) e il conduttore apre 998 porte dove sa esservi le capre. Rimangono quindi due porte chiuse: la prima scelta dal concorrente e quella lasciata chiusa dal conduttore. Il conduttore, come al solito, chiede al concorrente se vuole cambiare la propria scelta oppure no.
In questo caso è evidente che la probabilità che il concorrente avesse indovinato la porta vincente è una su mille, ovvero lo 0,1%, mentre ovviamente la probabilità che avesse scelto male è del 99,9%.
“Sbagliare” per il partecipante al gioco significa anche che la macchina è dietro una delle 999 porte non scelte: quando quindi il conduttore apre 998 delle porte “non scelte” offre al concorrente una porta con dietro la macchina, col 99,9% delle probabilità, oppure l’ultima capra con appena lo 0,1% di probabilità.
In questo caso mi sembra che, anche intuitivamente, non ci siano dubbi su quale sia la scelta migliore. Intuitivamente sappiamo che indovinare scegliendo fra mille possibilità l’unica vincente è difficilissimo mentre fra due è molto più facile: si ha quindi netta la sensazione che le probabilità in nostro favore aumentino se cambiamo la nostra scelta iniziale.
Vale la pena immaginare, per riprova, un quarto scenario.
In questo scenario ci sono mille porte e il conduttore ne apre 998 con dietro capre: ne rimangono solo due chiuse: una con l’ultima capra e l’altra con la macchina. Il concorrente che sceglie fra queste due ha il 50% di probabilità di vittoria.

Questo significa che il conduttore del gioco che apre le porte scegliendole dall’intera popolazione oppure dal sottogruppo di quelle “non scelte” dal giocatore è un fattore significativo. Nel secondo caso il conduttore è “forzato” a lasciare chiusa la porta con la macchina con una probabilità di (N-1)/N dove N è il numero di porte. Da un altro punto di vista il concorrente si trova sempre a dover scegliere fra due porte chiuse ma nel secondo caso ha un’informazione in più: sa qual’è la porta che lui aveva scelto in precedenza e che il conduttore non poteva aprire...

Probabilmente una variante carina di questo “paradosso” è proporre la scelta fra quale scenario di gioco sia preferibile per il concorrente: il primo che abbiamo visto (il “Monty Hall” originario) o la seconda variante, quella dove il conduttore apre subito una delle tre porte.
Istintivamente la scelta fra due porte sembra migliore che scegliere fra tre ma in verità sappiamo che nel primo caso il concorrente vince il 66% delle volte mentre nel secondo il 50%…

Conclusione: la prima scelta conta: l’informazione in più che ci dà conta. Bisognerebbe ricordarlo.

PS: se non vi “fidate” di me:

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