Sono ingenuo così, quando ho letto il titolo "Impossible" Logic Puzzle - How Many Liars Are At The Party?, ho davvero pensato che si trattasse di un problema difficilissimo. Col senno di poi credo che questa supposizione mi abbia portato un po’ fuori strada facendomi perdere più tempo del dovuto…Il testo, non ho voglia di tradurlo, è il seguente:
Questo problema avevo già provato a risolverlo lo scorso venerdì (o sabato forse?) senza successo ma, come al solito, ho una scusante (sebbene vagamente imbarazzante): da quando ho fatto la visita urologica, con allegata profanazione anale, direi una volta alla settimana mi prende un fortissimo prurito che si calma grattando bene (a fondo) l'orifizio segreto.
Ecco proprio durante la scorsa escursione, a metà percorso, sono stato colto da questo prurito terribile che mi sono portato dietro fino a quando non sono rientrato a casa e ho soddisfatto l’innominabile bisogno…
In pratica per colpa del prurito ho potuto pensare al rompicapo molto meno del previsto interrompendo oltretutto la catena dei pensieri improvvisamente.
Giudicate voi se sia una buona scusa!
SCIUPATRAMA
1° Uscita:
Durante l’andata avevo cercato di capire bene gli estremi del problema: come avete visto (anche per questo non ho voluto riassumerlo io) il testo è molto scarno e non fornisce molti particolari su cosa significhi “darsi la mano” alla festa, quante persone si incontrano fra loro etc.
Forse parte della difficoltà del rompicapo è proprio non farsi sommergere da tutta questa incertezza e riuscire a mettere dei punti fermi.
Ecco le mie conclusioni:
a. ogni invitato può incontrare un numero arbitrario di altre persone (se tutti incontravano tutti era troppo semplice; è limitare il numero arbitrariamente sarebbe stato, appunto, arbitrario).
b. legato al punto precedente: i mentitori non indicano un numero di persone più alto di quelle effettivamente incontrate.
c. ogni invitato è magicamente in grado di capire dalla stretta di mano (sudaticcia?) se la controparte è sincera o bugiarda.
Probabilmente il punto b, come vedremo nel prosieguo, è superfluo (ci dovrei riflettere).
Poi avevo fatto un buon ragionamento: nel tentativo di rappresentarmi graficamente il problema mi ero immaginato i sinceri, tutti da una parte, come dei puntini bianchi e i bugiardi, tutti dall’altra come dei puntini neri. Le strette di mano come degli archi che congiungono i due puntini coinvolti.
Si vede subito (almeno io l’ho visto nella mia testa) che la somma dei numeri indicati dai sinceri è pari al numero di archi che legano insieme i puntini bianchi moltiplicato per due: in altre parole sarà un numero pari.
Non è molto ma ci dice che se la somma dei numeri da 0 a 99 fosse dispari allora ci sarebbe almeno un bugiardo.
Poi provai a “ridurre” il problema immaginando una festa con due partecipanti, poi con tre, per vedere se vi trovavo degli “schemi” o degli spunti utili. Ma in realtà non arrivai a niente.
Poi calcolai la somma dei numeri da 1 a 5 per vedere se il risultato era pari o dispari e se potevo quindi applicare la logica vista sopra. Ah! Qui infatti avevo fatto un errore logico/matematico (corretto nell’uscita di oggi) in cui davo per scontato che somme pari e dispari si alternassero mentre invece cambiano solo quando il numero successivo è dispari: questo perché se la somma è pari aggiungendovi un numero pari il nuovo totale resta pari e se la somma è dispari aggiungendo un pari resta dispari; al contrario se la somma è pari aggiungendo un dispari il totale diventa dispari mentre se la somma è dispari il totale diventa pari…
Comunque, dando per scontato che il rompicapo fosse “difficilissimo” mi sono perso in questi ragionamenti astrusi in genere confondendomi senza arrivare a niente.
Devo anche dire che il problema mi dava molti spunti e così ero ancora in modalità “riflessione libera”, ovvero seguivo indisciplinatamente tutte le idee che mi venivano in mente senza cercare di essere “logico”.
2° Uscita:
Oggi ho fatto di nuovo una breve passeggiata e ho preso l’occasione per tornare sul problema.
Per prima cosa ho cercato di ricordare le “scoperte” della volta precedente.
Poi mi sono accorto dell’errore logico/matematico e quindi ho rivalutato il tutto alla luce di esso: senza arrivare a niente di utile…
Finalmente mi sono deciso a pensare in maniera “logica”. Ora è difficile tenere traccia dei propri pensieri anche perché molte idee hanno poco senso a metterle nero su bianco o sono troppo vaghe da poter essere spiegate chiaramente. Inoltre tenere traccia di cosa si stia pensando toglie concentrazione mentre, se non lo si fa, è poi difficile ricordare i pensieri precedenti, specialmente le false piste…
Comunque ho pensato che i bugiardi danno poca informazione mentre i sinceri un po’ di più ma col fatto che non si sa quante persone incontrano non è facile sfruttare questi dati.
Anzi, mi rendo conto adesso, si può immaginare che ci sia un sincero timidissimo che alla festa si chiuda in bagno senza incontrare nessuno: se sinceri e bugiardi non sanno della sua esistenza come possono darci con le loro risposte l’informazione corretta sul numero totale dei sinceri?
La persona nascosta in bagno potrebbe essere sincera o bugiarda e gli altri partecipanti alla festa non ne saprebbero niente: come possono quindi le loro risposte darci un’indicazione al riguardo?
Allora sono finalmente giunto all’idea corretta: è la forma delle risposte, tutti i numeri da 0 a 99, che implica il valore della soluzione.
Qui ho preso un’altra falsa pista: il numero di sinceri totali sarà maggiore o uguale al numero massimo di sinceri indicato da un sincero. Ma anche questa idea di per sé non mi ha portato a niente.
Poi finalmente ho fatto quello che, credo, avrei fatto fra i primi tentativi se non avessi pensato che il problema fosse “difficilissimo” e che quindi richiedesse qualche soluzione particolarmente profonda…
Anzi in realtà ci avevo già provato il primo giorno ma cercavo di combinare i miei ragionamenti con l’idea della somma totale dispari o pari e questo mi impediva di vedere l’ovvio.
Il problema infatti è, mi sembra, semplicissimo.
Consideriamo l’ospite che dice di aver incontrato 99 sinceri (il 100°) e supponiamo che sia sincero: questo significherebbe che ha incontrato tutti gli altri ospiti e che questi sono a loro volta tutti sinceri. Questo significherebbe anche che ha incontrato anche l’ospite (1°) che dice di aver incontrato 0 sinceri quando invece dovrebbe aver almeno incontrato l’ospite (100°) che ha incontrato tutti. Questa è una contraddizione e quindi l’ospite che dice di aver incontrato 99 sinceri è un bugiardo.
Consideriamo l’ospite successivo (il 99°) che dice di aver incontrato 98 sinceri e supponiamo che sia sincero. Sappiamo già che l’ospite 100° è bugiardo quindi i 98 sinceri dovrebbero essere gli ospiti dal 1° al 98°. Ma di nuovo l’ospite 1° dice di non aver incontrato sinceri, quindi solita contraddizione, quindi ospite 99° è bugiardo.
In questa maniera si procede fino all’ospite 2° che dice di aver incontrato 1 sincero: siccome sappiamo che gli ospiti dal 3° al 100° sono tutti bugiardi allora l’unico sincero che avrebbe potuto aver incontrato sarebbe il 1° che però, come nei casi precedenti, dice di non aver incontrato alcun sincero. Di conseguenza anche l’ospite 2° è bugiardo.
Arriviamo quindi a valutare l’ospite 1° sapendo che quelli dal 2° al 100° sono tutti bugiardi.
Evidentemente 1° non può aver incontrato nessun sincero: se fosse bugiardo dovrebbe quindi rispondere un numero diverso da zero (perché il testo del rompicapo dice che il bugiardo mente sempre e comunque) mentre se fosse sincero dovrebbe rispondere 0: quindi 1° è sincero…
Totale: 1 sincero e 99 bugiardi.
Insomma alla fine il problema era molto molto semplice e se ci avessi ragionato così “rozzamente” fin dall’inizio lo avrei risolto molto più rapidamente…
Alla fine era semplicemente la “struttura” delle risposte che contava: se il 100° bugiardo avesse detto di aver incontrato 98 sinceri invece che 99 non si sarebbe potuto concludere niente...
Conclusione: per questo io non vado mai alle feste dato che mi sentirei sempre solo!
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