È divisibile per 7?

Premetto che sto iniziando a scrivere questo pezzo alle 2:30 di notte: non sono riuscito a raffreddare la camera. Aveva piovuto e pensavo fosse fresco ma non è così, semmai è afoso. Se vado altrove sarò mangiato dalle zanzare poi… vabbè non vi voglio annoiare con le mie lamentele…

Tempo (mesi?) fa trovai su Il blog della Curiosona (*1) un meme che riassumeva vari metodi per verificare la divisibilità per numerosi numeri interi. Mi soffermai sul metodo per il 7 che non conoscevo: in pratica si deve prendere il numero di decine e sottrarre il doppio delle unità. Se il numero risultante è divisibile per 7 allora lo è anche quello originario. Ovviamente si può ripetere questo metodo più volte fino ad arrivare a numeri sufficientemente piccoli da capire immediatamente se sono divisibili per 7.

Più complicato a dirsi che a farsi, facciamo qualche esempio:
80923 è divisibile per 7?
Il numero di decine è 8092, le unità sono 3 quindi si deve verificare se 8092-6=8086 è divisibile per 7. Siccome è un numero troppo grosso riapplico il metodo.
Adesso le decine sono 808 a cui devo sottrarre 12 ottenendo 796. Riapplico: 79-12=67 che evidentemente non è divisibile per 7.
Proviamo con 80927.
8092-14=8078
807-16=791
79-2 = 77 e sì, questo è divisibile per 7…

Così mi venne la bella idea, dopo tanti rompicapi logici, di capire come funzionava questo trucco matematico. Anzi decisi che avrei descritto passo passo il processo logico che mi avrebbe portato alla soluzione (ero molto fiducioso). Così mi misi davanti al calcolatore e iniziai a scrivere. Il problema fu che per descrivere un’idea pensata in 30 secondi mi occorrevano 5 minuti. Questo interrompere continuamente il flusso dei miei pensieri poi mi impediva di concentrarmi. Ben presto l’esperimento iniziò a divenire frustrante: io mi ero già stufato di scrivere e non ero ancora approdato a nulla.

Rimasi talmente schifato dall’esperienza che per settimane non ci pensai più. Qualche giorno fa però sono uscito per una breve passeggiata a piedi e ho così deciso di trastullarmici un poco.
In pratica arrivai alla seguente “equazione”: (D*10 + U) % 7 = (D – 2*U) % 7
Dove con “%” intendo l’operazione di modulo; con D il numero di decine e con U le unità.
Pensai anche che tornato a casa avrei potuto farmi una tabella su LibreCalc con le colonne D%7 e U%7 combinando tutti i possibili accoppiamenti (in pratica 49 righe) e, accanto, le varie operazione dell’“equazione” scritta qui sopra.
Pensavo che, vedendo i numeri in azione, avrei forse capito come funzionava il metodo.
Una volta tornato a casa inizio a scrivere il relativo foglio di calcolo ma… una volta terminato mi accorgo che l’equazione non è tale: per esempio (D*10 + U) % 7 mi dava 1 mentre (D – 2*U) % 7 mi dava 5…
Siccome mi ero già stufato a riempire la tabella lasciai perdere col dubbio di aver sbagliato qualcosa nella logica delle varie operazioni con modulo 7.

Arriviamo così a stasera verso le 1:00 dopo aver letto qualche pagina di Jung. Non avevo particolare voglia di leggere altro e, ricordandomi di questo problemino matematico, mi sono messo a scrivere qualche formula e annotazioni. Come ho già spiegato io mi diverto a risolvere i rompicapi mentre passeggio ma do il massimo quando mi posso aiutare con un quaderno a quadretti da 4mm (quelli da 5mm sono orribilmente grossi!).

Per prima cosa faccio qualche prova con numeri in carne e ossa (se così si può dire!) e verifico che la famigerata equazione non è tale ma funziona solo quando il %7 è pari a zero. In realtà avevo già fatto questa ipotesi all’epoca del foglio di calcolo (dopo averlo chiuso altrimenti sarebbe stato facile verificare) ma la ritenevo improbabile…

Poi decido che è più semplice capire cosa succede al modulo passando dal numero più piccolo a quello più grande che non il viceversa.
Scelgo il numero originario (No) 26 (dato da D – 2*U): quali numeri derivati (Nd) posso ottenere? Ovviamente dipende da D e da U. Siccome U può prendere solo i valori fra 0 e 9 è facile calcolare il relativo D.
Con D e U, usando la formula D*10 + U, ottengo il numero derivato.
Per esempio:
con U=0 D sarà 26 e quindi Nd 26*10 + 0 = 260
con U=1 D sarà 28 e quindi Nd 28*10 + 1 = 281
con U=2 D sarà 30 e quindi Nd 30*10 + 2 = 302

Notate lo schema? la differenza fra i vari Nd è 21. Siccome 21 è multiplo di 7 allora i vari Nd avranno tutti lo stesso modulo 7.
Questo ci è utile: per studiare il rapporto esistente fra No e Nd potremo scegliere il più semplice degli Nd ovvero No*10.
E cosa succede quando si moltiplica un modulo 7 per 10? Beh, ci sono solo 7 casi vediamoli tutti:
1 → 10 → 3
2 → 20 → 6
3 → 30 → 2
4 → 40 → 5
5 → 50 → 1
6 → 60 → 4
0 → 0 → 0
Ecco quindi chiarito l’arcano se No è divisibile per 7 allora lo saranno anche tutti i 10 possibili Nd: negli altri casi invece le operazioni portano a cambiamenti nel valore del modulo: comunque se No non era divisibile per 7 nemmeno Nd lo sarà.

Resta da chiarire perché la differenza fra i vari Nd è esattamente 21.
Da No=D-2*U ottengo D=No+2*U
Sostituendo questo valore di D nell’altro membro dell’equazione ottengo:
Nd=D*10 + U andando a sostituire D si ha:
Nd=(No+2*U)*10+U ovvero 10*No+20*U+U = 10*No+21*U

In pratica il trucco funziona perché il modulo 7 di 10*No rimane 0 quando era 0 e 21*U non lo modifica perché 21%7 è a sua volta zero. Chiaro? Vi ho convinti? Poco?

Allora proviamo a modificare il metodo: se le cose stanno come dico io allora se invece che 21 avessimo un altro numero divisibile per 7 funzionerebbe ugualmente. E questo numero (divisibile per 7) dovrà essere, per costruzione N*10 + 1. Qual è quindi un altro numero divisibile per 7 e terminante in 1 (dopo 21)? Facile: 91.

Quindi un altro metodo analogo per verificare se un numero è divisibile per 7 è prendere le decine e sottrarre 9 volte le unità.
Proviamo con 80927 come avevamo fatto prima:
8092 – 7*9 = 8092 – 63 = 8029
802 – 9*9 = 802 – 81 = 721
72 – 9*1 = 63 che, come sappiamo, è divisibile per 7.

Rendiamo quindi il metodo ancora più veloce: che valori usare se volessi usare il numero delle centinaia invece che delle decine?
Nd%7=(100*No)%7 continuerà a essere 0 se No%7 è zero: qui non ci sono problemi.
Dobbiamo però trovare un numero N*100+1 che sia divisibile per 7. Vediamo cosa abbiamo:
101 no (avanza 3)
201 no (avanza 5)
301 perfetto è divisibile per 7!
Quindi per verificare se un numero è divisibile per 7 possiamo prendere il numero delle sue centinaia e togliere 3 volte le decine + le unità.

Solito esempio con 80927:
809-27*3=809-81=728
Siccome il numero è già piccolo conviene qui usare il metodo originale o la precedente modifica:
72-8*2=56 è divisibile!
o
72-8*9=0 è divisibile!
Ma comunque anche l’ultimo metodo funziona (ovviamente!):
7-28*3= 7-84 = -77 è divisibile!

Conclusione: bo, spero di essere stato chiaro… del resto sono quasi le 4:00 e inizio ad avere un po’ sonno nonostante il caldo e le zanzare…

Nota (*1): il nome del ghiribizzo è un po’ fuorviante: non tratta di pettegolezzi ma, piuttosto, di curiosità… In effetti avrebbe forse dovuto chiamarlo “Il blog delle curiosità”!

PS: di seguito la scansione dal mio quadernino. Me la sono cavata in appena due pagine dopo aver imboccato una sola falsa pista (vedi in alto a sinistra)…

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