Sogno di potenze

Oggi devo ristare attento a non perdermi negli aneddoti ma un minimo di premessa devo però farla. Anzi, prima voglio raccontare il sogno di stanotte:
«Ero in gita con la scuola e stavamo lasciando l'albergo dove eravamo alloggiati. Avevamo tutti una lista con delle voci da spuntare in maniera da non dimenticare niente di importante: in particolare dovevamo spuntare i punti: carta d'identità, biglietto di viaggio e un certificato [in realtà non ricordo quale fosse la terza voce!]; per ciascuno di questi punti, se marcato, dovevamo mettere via uno specifico bottone [non era un bottone ma un piccolo oggettino che non saprei definire con poche parole] colorato e poi dovevamo consegnare il tutto al professore (lo stesso di Sfere rotte!).
In questa maniera il professore avrebbe dovuto semplicemente contare i segnalini/bottoni per sapere se tutto andava bene o cosa mancava.
Nel sogno mi era sembrata un'idea molto buona anche se adesso mi rendo conto che non è così!
Comunque siamo poi nella sala dell'albergo e il professore ci chiede di cercare altri segnalini perché ha un'altra idea. Girando per la stanza vedo su un tavolo delle fiches per giocare a poker e così chiamo il professore: per un attimo sembra soddisfatto ma poi dice che non ci sono abbastanza tipi diversi perché a lui gliene servivano 10.
Nel frattempo passa un altro tizio per raccogliere una scatola lasciata in un cassetto del tavolo: non ricordo come e perché ma iniziamo a parlare di matematica (!) e, nonostante i suoi modi sussiegosi, mi rendo conto di saperne di più io (nel sogno mi sento nuovamente un ragazzino). Di nuovo non ricordo i vari passaggi logici ma iniziamo a discutere delle combinazioni che ha in mente di ottenere il professore e a me è abbastanza evidente che 10^30 (cioè 10 elevato a 30) sia molto meno di 4^100. Voglio dimostrarlo all'uomo e gli dico “Adesso le insegno qualcosa...” al che lui si inalbera dicendo che non ho niente da insegnarli, così prontamente riformulo la mia proposta in “adesso le mostro un trucchetto...” che viene accettata con un po' di scetticismo.
Andiamo a un tavolino con carta e penna dove mi siedo e raduno le idee per la dimostrazione mentre il tizio rimane a osservare in piedi alle mie spalle.
[Credo che a questo punto sia scattato un meccanismo di protezione del sogno: come ho spiegato altre volte la memoria a brevissimo termine è scarsamente affidabile nel sogno e sicuramente non sarei stato in grado di eseguire anche i pur semplici calcoli che avevo in mente, così...]
Mentre sto per iniziare il tizio alle mie spalle mi morde alla gola: è un vampiro! Come sapete (v. KGB: lo sterminatore) con i mostri sono piuttosto aggressivo, così l'afferro per la testa e cerco di rovesciarlo sul tavolo.
Per lo sforzo o forse per la frustrazione, di sicuro non per la paura, mi devo essere svegliato per qualche secondo per poi riaddormentarmi subito: sono in un luogo totalmente diverso (e probabilmente ancora più giovane) e un'anziana signora vestita di nero mi spiega che ho un sangue particolarmente “saporito” di cui i vampiri vanno matti e che, contemporaneamente, mi impedisce di divenire a mia volta un vampiro. Per “riconoscersi” dà a me e a una bambina sui 5 anni un piccolo scudo dorato (ma proprio minuscolo! Direi di 1cm per 0,4cm!) da attaccare alla giacca...
[Poi mi risveglio del tutto e inizio a ricordare il sogno per poi pubblicarlo!]»

Ma perché ho scritto che mi ero svegliato per la “frustrazione”? Il fatto è che avevo proprio voglia di far vedere al tizio così pieno di sé che potevo calcolare esattamente quale fosse il numero più grande fra le due potenze: l'uomo anche se meno bravo in matematica di quanto credesse d'essere mi sembrava comunque in grado di capire i miei calcoli e, quindi, avrebbe dovuto ammettere di aver sbagliato!

Comunque, una volta sveglio, la voglia di mostrare questo “trucchetto” mi era rimasta e mi è tornato in mente un aneddoto della seconda liceo. Avete presente la pubblicità di una macchina che dice che ognuno di noi ha circa 4/5 persone identiche a sé?
Ecco, al liceo avevo fatto una stima simile. Non ricordo i dettagli ma sul libro di biologia doveva essere indicata una stima del numero di geni e della dimensione del numero di amminoacidi delle proteine relative. Di sicuro ricordo che, partendo dai 20 amminoacidi, dovevo sommare insieme tutte le potenze di 20 da minimo 80 a massimo 150 (numeri messi adesso a caso perché, come detto, non ricordo i dettagli!); non so, forse poi il tutto moltiplicato per la stima del numero di geni? Comunque sia non è importante...

All'epoca la parte difficile del calcolo era questa sommatoria di potenze.
Dai tempi delle medie sapevo però (programmando i vecchi calcolatori) che la somma delle prime n potenze di 2 era uguale a 2^(n+1)-1 e immaginavo che una simile formula esistesse per qualsiasi base. In verità abbastanza “scimmiescamente”, ovvero scrivendo formule a caso e controllando se funzionassero, trovai la formula generica: ovvero la somma di tutte le potenze di i da 0 a n è pari a i^(n+1)-1/(i-1).
In realtà la dimostrazione sarebbe stata anche banale: basta scrivere la somma delle potenze e moltiplicarla e dividerla per la base meno 1! Cioè:
i^n + i^(n-1) + … + i^3 + i^2 + i + 1 moltiplicato e diviso per (i-1).
Al numeratore si ottiene:
i^(n+1) + i^(n) + … + i^4 + i^3 + i^2 + i - i^n - i^(n-1) - … - i^3 - i^2 - i – 1
dove tutte le potenze di i comprese fra n e 1 si semplificano fra loro. Rimane quindi:
i^(n+1)-1 tutto diviso per (i-1).

Applicando questa formula al mio caso concreto (in cui adesso le potenze sono a caso perché non ricordo i numeri esatti!) ottengo:
(20^151-1)/19-(20^81-1)/19
Ma lasciando perdere i dettagli della precedente formula, quanto è “grande” 20^151? Ovvero quanto cifre ha? Per saperlo basterebbe trasformare 20^151 in 10^(qualcosa) dove “qualcosa” sarebbe uguale al numero di cifre di 20^151 meno uno. Infatti 10^2=100 ha 3 cifre e 10^3=1000 ha 4 cifre, etc...
La trasformazione, grazie ai logaritmi, è facile:
20^151=10^x
ln(20^151)=ln(10^x)
151*ln(20)=x*ln(10)
x=151*ln(20)/ln(10)
x=196,46
Quindi 20^151 è un numero di 197 cifre! (*1)

Ecco, la tecnica precedente era il “trucchetto” che in sogno volevo mostrare al vampiro per dimostrargli che 10^30 fosse minore di 4^100!
Infatti posso trasformare 4^100 in una potenza di 10 in questa maniera:
4^100 = 10^x
100*ln(4)=x*ln(10)
x=100*ln(4)/ln(10)
x=60,21

Cioè 4^100 ha un numero di cifre doppio rispetto a 10^x!!

Conclusione: buffo, vero?! Ma l'umorismo è molto soggettivo: in realtà io trovo buffo anche il fatto che qualsiasi potenza di n a cui poi si sottragga 1 sia divisibile per (n-1)...

Nota (*1): quindi gli estremi della mia stima dovevano essere diversi! Mi pare che la mia grezzissima approssimazione fosse che le combinazioni di uomini possibili erano dell'ordine di 10 miliardi. Ricordo che rimasi stupito perché mi aspettavo molto di più, che fosse praticamente impossibile, mentre in realtà era addirittura probabile che esistessero due persone identiche non parenti fra loro...

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