Quanto spesso ci siamo imbattuti in un calcolo di questo genere?
Sicuramente migliaia di volte!
E allora, soprattutto se k è grande, i calcoli diventano lunghi e tediosi...
Ebbene da adesso non sarà più così: ecco a voi la “Sommatoria di KGB”, facilmente calcolabile grazie alla seguente formula!
A parte gli scherzi suppongo che tale sommatoria sia già nota da almeno un paio di secoli e che porti il nome di un illustre matematico...
Io però mi ci sono imbattuto ieri per caso e la maniera a cui ci sono arrivato mi pare piuttosto divertente. Ve la ripropongo quindi qui di seguito.
Il punto di partenza è il corto L'Uno.
Dopo aver fatto i miei disegnini fino alla terza dimensione ho infatti iniziato a chiedermi come fosse divisibile n^4-1. Sicuramente per (n-1) ma poi?
Allora mi sono messo a fare un po' di calcoli (sbagliati) ma improvvisamente mi è venuta un'altra idea: divertirmi a “riscoprire” la divisioni fra polinomi.
Sapevo che esisteva e supponevo che fosse facile. Di seguito i miei appunti originali con i quali ho ricostruito il metodo di divisione:
Prima mi sono scritto due polinomi a caso di terzo grado (a e b) e li ho moltiplicati fra loro nella griglia in alto a sinistra: volevo visualizzare bene le relazioni fra i diversi gradi dei due polinomi nel loro prodotto.
Poi ho provato a dividere il prodotto trovato per il polinomio "a" cercando di individuare la maniera più meccanica e semplice per fare i vari calcoli.
Alla fine ho ricavato il metodo evidenziato nella griglia in basso a sinistra.
Scrivo il polinomio “dividendo” in alto e il “divisore” a destra. Il polinomio “quoziente” verrà calcolato a partire dal grado più alto in giù (i numeri cerchiati) con le ultime cifre di verifica (non è detto che un polinomio sia esattamente divisibile per un altro).
Il metodo non è complicato ma a spiegarlo a parole lo diventa! Comunque funziona...
Allora l'ho applicato per dividere n^4-1 per n-1...
Il risultato è stato: n^3+n^2+n+1
Ammetto che sono rimasto un po' confuso.
Se infatti n^3+n^2+n+1 *(n-1)/(n-1)= n^4-1 allora n^4-1/(n-1) non dovrebbe essere uguale a n^3+n^2+n+1 / (n-1) invece che a n^3+n^2+n+1??
Ovviamente mi ero sbagliato!
n^3+n^2+n+1 *(n-1)/(n-1) non è uguale a n^4-1 ma n^4-1/(n-1) (nella scansione ho aggiunto dopo il denominatore n-1 mancante...)!
Una volta tranquillizzatomi ho deciso di fare un'altra divisione (volevo riusare il mio metodo!).
Ho pensato che la sommatoria n^3+n^2+n+1 è composta da potenze di n: se quindi sottraggo 1 a ciascuna di esse la somma risultante sarà ancora divisibile per n-1.
Ho quindi provato a dividere: n^3 + n^2 + n – 3 per n-1 nella griglia centrale.
Sebbene il polinomio risultante fosse composto da soli tre elementi mi sono reso conto che, per costruzione del mio metodo di calcolo, la sequenza si poteva generalizzare ed era peculiare...
Così ho scritto la mia formula generica, ricostruendo a ritroso i vari passaggi effettuati, e facendo una verifica: ovviamente mi ero dimenticato una divisione per (n-1) che ho aggiunto poi in seconda battuta. Ed ecco ottenuta la formula per la “Sommatoria di KGB”!
Poi ho scritto anche un programmino per verificarla con altri n e k: fidarsi della matematica è bene ma non fidarsi è meglio!!
Conclusione: bellino vero? Ripensavo che nel mio metodo per la divisione dei polinomi, quella che io ho chiamato la “verifica”, se diversa da zero equivale semplicemente al polinomio di “resto”: dovrei verificare ma mi sembra abbastanza ovvio...
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