Calcolo della fortuna

Giocando a molti giochi strategici spesso mi trovo in situazioni dove ho una certa probabilità di colpire un avversario: il risultato può essere un centro oppure un errore.
Cioè se la probabilità di colpire è 85% significa che su 100 tentativi colpirò il bersaglio 85 volte e 15 volte lo mancherò.

Ovviamente nonostante la mia immensa abilità strategica (!) ho sempre la sensazione di essere bersagliato dalla sfortuna e, per questo, a volte mi annoto le varie probabilità di successo e il risultato ottenuto.
Mi ritrovo quindi con sequenze di cifre di questo tipo:
65% → 1 (centrato)
40% → 1 (centrato)
30% → 0 (mancato)
57% → 0 (mancato)
60% → 0 (mancato)
81% → 1 (centrato)
…
…

A fine partita poi sommo insieme le percentuali e i risultati effettivi ottenuti, ne calcolo la differenza delta e ne faccio la media.
Se Sommatoria(R_i-E_i)/N con i=1, N è maggiore di zero allora sono stato fortunato, se è negativa sono stato sfortunato.
Ma questa approssimazione non mi basta più!

Il numero che ottengo infatti non dice molto si per sé, per esempio:
Se ottengo un delta=.15 con N=12 sono stato più o meno fortunato di quando ottenni delta=.08 con N=45?
Perché è chiaro che più tentativi faccio e più il delta tenderà a zero: quindi, a parità di delta, si ha più fortuna quando il relativo N è maggiore.

Un’idea per risolvere questo problema è associare a ogni delta la probabilità di ottenerlo in base al relativo N.
Se nell’esempio precedente so che la probabilità di un delta>=.15 per N=12 è del 45% mentre la probabilità di ottenere un delta>=.08 per N=45 è del 22% allora è chiaro che nel secondo caso sarei stato molto più fortunato che nel primo!

A occhio si tratta di un semplicissimo problema di statistica e, avendo dato all’università un esame chiamato CPS (Calcolo Probabilità e Statistica), non dovrebbe essere un problema per me, giusto?
Sbagliato! All’università al corso di CPS facemmo solo il calcolo delle probabilità e quindi io di statistica non so niente: qualche anno fa provai a seguire un corso in rete ma poi mi persi e lasciai perdere…

Allora ho pensato di contattare le mie conoscenze esperte di matematica (*1) ma considerato il recente fallimento con la mia semplice domanda sul limite di una sequenza (ne ho scritto qui? Non ricordo…) ho avuto la sensazione che sarebbe stata una perdita di tempo…
Così ho deciso di disturbare il mio amico matematico russo conosciuto su Steam: lui non solo è laureato in matematica ma ci lavora anche, credo all’università, e in generale questo genere di problemini gli piacciono. L’unico problema è che gli devo scrivere in inglese e la cosa mi fa abbastanza fatica: però pensavo che per lui fosse un problema banale e che mi avrebbe dato in pochi secondi la formula da usare o magari un collegamento a una pagina con una soluzione già pronta a questa mia domanda…

Allora siamo stati in chat dalle 15:56 alle 17:27 e abbiamo fatto solo qualche minimo progresso!
Nonostante il mio inglese scadente, oltretutto scrivendo di fretta sono particolarmente sgrammaticato e incomprensibile, è riuscito a comprendere subito la questione ma, con mia sorpresa, ha iniziato a pensarci piuttosto intensamente.
Mi sono copiato la nostra conversazione su un processore di testi perché, almeno io l’ho trovata divertentissima (magari gli chiederò se posso pubblicarne dei frammenti).
Difficile spiegare perché: da una parte mi piace conversare con qualcuno che ci capisce di matematica e che riesce a seguirmi senza difficoltà, dall’altra gradisco constatare che anch’io, diciamo, sono portato alla materia.
Per esempio dopo un po’ ho pensato che forse un altro parametro da tenere presente era anche la funzione di distribuzione del singolo colpo che, in questo caso, era uniforme: nonostante il mio inglese, esempi numerici poco comprensibili e l’uso di termini non appropriati mi ha subito capito dandomi ragione (anche se adesso non sono sicuro che sia rilevante).
A un certo punto è riuscito a impostare il problema scrivendomi: «delta is our random variable we need to construct a cumulative distribution function for this random variable the value of this function at a given point (your calculated delta) will yield your "luck" value»
Le funzioni cumulative, studiate ormai circa trentanni fa, sono improvvisamente riapparse nella mia memoria e, più o meno, sono riuscito a seguire il suo ragionamento: ma sul più bello, quando dal caso singolo si sarebbe dovuti passare al caso con N variabili mi ha scritto che sul momento non riusciva a ricordare come fare!
La cosa più divertente è che ha aggiunto che appena un paio di anni fa insegnava probabilità e statistica: ovviamente la cosa mi ha fatto molto ridere…
Per farla breve siamo andati avanti a lungo così: con lui che portava avanti il grosso della teoria matematica e io che davo qualche contributo intuitivo.
Poi si è dovuto assentare ma mi ha promesso che tornerà sul problema: vedremo…

Conclusione: mi è tornata una gran voglia di studiare statistica! E continuo ad avere la sensazione che il mio problema sia semplicissimo: qualcosa che magari si possa risolvere sfruttando la varianza, non so...

Nota (*1): e i miei numerosi amici ingegneri? A dire il vero non li prendo neppure in considerazione: ho ormai capito che hanno una conoscenza della matematica abbastanza vaga, sperduta in un nebbia grigia di tanti “non ricordo esattamente: è passato tanto tempo”...

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