Aggiornamento matematico

Oggi dovrò studiare matematica!
Ieri, dopo un paio di ore, sono stato ricontattato dal mio amico matematico russo che, senza l’handicap della confusione provocata dalle mie teorie e intuizioni, ha in poco tempo risolto il problema e mi ha ricontattato qualche ore dopo per spiegarmi il tutto.

Premetto che avrei potuto fare una bellissima figura, almeno qui su questo mio ghiribizzo, se ieri me la fossi sentita di concludere con la mia teoria. A forza di parlare di calcolo della probabilità stavano infatti riemergendo vecchi ricordi e in particolare volevo accennare alle probabilità di somme di variabili aleatorie di Bernoulli che secondo me potevano avere una relazione con il mio problema: poi non l’ho fatto perché, pensandoci meglio, mi sono ricordato che queste variabili avrebbero dovuto avere tutte le stesse probabilità mentre invece qui erano tutte diverse…
Ebbene quello che ricordavo vagamente io era un caso specifico che semplifica notevolmente le formule ma esiste il caso generale…

La soluzione generale, mi ha spiegato Oleg, è qui: Poisson binomial distribution…

Io l’avevo un po’ messo fuori strada con il mio tentativo di valutare la media della differenza fra i valori attesi (che io chiamavo delta) e quelli ottenuti mentre in realtà il problema è molto più semplice se si cerca di calcolare la probabilità del numero di colpi andati a segno (*1).
La cosa buffa è come mi ha fatto per spiegarmi il suo punto di vista: invece di spiegarmelo a parole ha fatto ricorso al seguente esempio matematico:
«N trials
p_i – probabilities
r_i – outcomes
Mean, or expected value of hits = sum(p_i)
Number of hits = sum(r_i)
Suppose we have a set of N = 4 probabilities: p_1, p_2, p_3 and p_4.
Suppose we have a set of corresponding outcomes r_i: 1, 1, 0, 1 (3 hits total)
1) Consider the probability of that particular sequence occuring:P(1101) = p1 * p2 * (1 - p3) * p4It is very low, since you are multiplying proper fractions.
2) Consider the probability of getting exactly 3 hits: P(hits = 3) = P(1110) + P(1101) + P(1011) + P(0111) == p1*p2*p3*(1-p4) + p1*p2*(1-p3)*p4 + p1*(1-p2)*p3*p4 + (1-p1)*p2*p3*p4
3) Consider the probability of getting at least 3 hits:P(hits >= 3) = P(hits = 3) + P(hits = 4) = P(hits = 3) + p1*p2*p3*p4

This is a simple example to help you wrap your head around the problem.»

Curiosamente anch’io ho capito subito cosa intendesse con questo esempio: come ho scritto sopra lui mi suggerisce di calcolare la probabilità del numero di colpi andati a segno piuttosto che la distanza dei singoli colpi dal relativo risultato atteso ma, come ho spiegato nella nota (*1), alla fine dovrebbe essere la stessa cosa...

Gli ho fatto presente un dubbio che mi era venuto sul momento, ovvero se fosse corretto valutare la “fortuna complessiva” di questi due insieme di risultati come se fosse la stessa, ovvero:
1)
60% → 0
55% → 0
20% → 1
2)
60% → 1
55% → 0
20% → 0

Il suo metodo infatti non fa distinzione su quali colpi siano andati a segno ma solo sul loro numero totale: nel mio esempio in entrambi i casi la funzione di distribuzione restituisce lo stesso valore ma in un caso si è fatto centro col tiro “più difficile” nel secondo con quello “più facile”. È giusto considerare uguali i due valori di “fortuna”?
Probabilmente sì.

Adesso dovrei avere tutti gli elementi per scrivermi un programmino che prendendo in ingresso una serie di coppie (probabilità, risultato) mi restituisca una percentuale indicativa della “fortuna” avuta. Aggiungo che, per la precisione, non userei direttamente la funzione di distribuzione, ovvero la funzione che mi dà la probabilità di un certo risultato, per esempio P(numero colpi a segno=5), ma quella cumulativa che mi dà P(numeri colpi a segno <=5) col risultato di ottenere 0 se tutti hanno mancato o 100 se tutti sono andati a segno...

Conclusione: la notizia positiva è che Oleg si diverte molto a aiutarmi ed è impaziente di affrontare il prossimo problema che gli ho anticipato di avere: il limite della successione che non mi riesce più risolvere (*2)!

Nota (*1): che poi alla fine è la stessa cosa: se si prende il “mio” delta, lo si moltiplica per N e gli si aggiunge i valori attesi ecco che si ottengono i colpi andati a segno…
Nota (*2): nel tentativo di trovare il collegamento a dove ne avevo scritto ho scoperto di non averlo fatto! Beh, in pratica aggeggiando con i numeri primi avevo tirato fuori una successione che esprime la loro densità per un determinato P_n ennesimo numero primo. Facendo il limite per n tendente a infinito di tale successione dovrei trovare la densità generale dei numeri primi.
Per i limiti delle successioni il mio professore di analisi (il bravissimo Luciano Modica!) ci aveva insegnato 3 o 4 metodi pratici piuttosto facili che però adesso, dopo circa trent’anni, non ricordo più. Invece mi ero già imbattuto nella stessa formula ai tempi dell’università e, mi pare, che avessi calcolato tale limite senza troppi problemi...

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