La radice di KGB

Nottata terribile…
Ho fatto l’errore di guardare questo video prima di spegnere il calcolatore verso mezzanotte: Find Square Root by Hand without Calculator

Poi ho letto un po’ (mitologia e Rice) ma avevo sonno. E qui ho fatto l’errore: il metodo del video mi è sembrato “strano” e ho pensato “possibile non si possa fare diversamente”?
E così mi sono guastato la notte. Cioè ho dormicchiato ma quando mi svegliavo mi tornava in mente il problema…
Come se non bastasse ci si è messa anche la pioggia e un parente che parla nel sonno!

Comunque stamani, verso le 7:45, ormai mezzo sveglio, ci ho riflettuto un quarto d’ora a mente lucida e mi sembra di aver trovato un buon metodo.

Ancora non ho verificato su carta quindi è probabile, anzi è sicuro, che ci sia qualcosa che non funzioni, però sono anche fiducioso di riuscire a risolvere gli intoppi “al volo” ovvero durante la stesura di questo pezzo…

Quanto sopra lo scrissi ieri mattina: continuai a scrivere il pezzo ma mi accorsi che non mi tornava niente! In realtà, credo, il problema era che la mancanza di sonno mi impediva di concentrarmi.

Così ho lasciato stare fino a oggi, quando mi sono messo in macchina, nel parcheggio di un supermercato a rifare i conti scoprendo che la mia idea era corretta e che facevo solo un po’ di confusione con gli zeri. Ho provato a fare la radice di 2022 e mi è venuto 44,966: siccome sono un INTP molto sicuro della mia logica non ho bisogno di fare altre prove per convincermi della bontà del mio metodo per estrarre la radice di un numero qualsiasi.

Nel video l’autore nasconde un problema che in verità non è banale: sceglie un numerino (38) di cui è immediato vedere che la radice sarà 6 e qualcosa. Ma quando il numero di cui vogliamo estrarre la radice ha parecchie cifre non mi pare immediato trovare la cifra da cui iniziare…

Così stanotte sono partito proprio dalle basi. I quadrati dei primi 10 numeri sono i seguenti:
0 → 0
1 → 1
2 → 4
3 → 9
4 → 16
5 → 25
6 → 36
7 → 49
8 → 64
9 → 81

Se ho un quadrato (chiamerò così per semplicità il numero di cui voglio estrarre la radice) che inizia con le cifre 17[XXX] (dove [XXX] indica un numero qualunque di ulteriori cifre) sembrerebbe ovvio pensare: “la prima cifra della mia radice deve essere 4!”
E invece no! Potrebbe anche essere “1”…
Per esempio la radice di 2040 inizia con 4 (è 45,166) ma basta aggiungere uno 0 e la radice di 20400 inizierà con 1 (è 142.829).

Intuitivamente il motivo è che ogni cifra X di un numero può essere vista come X*10^n dove n è la sua posizione (284 = 2*100 + 8*10 + 4*1). Quando ne facciamo il quadrato (al di là dei vari doppi prodotti) avremo il quadrato della cifra spostato di un numero doppio di posizioni.
Questo porta a un qualcosa di “buffo”
√4 = 2
√400 = 20
√40.000 = 200
etc.

Per ogni 2 zeri che si aggiungono a sinistra basta aggiungerne uno a destra!
Per esempio √40 è invece 6.325…

Quindi per trovare la cifra più significativa della radice di un numero bisogna dividerlo a coppie e considerare quella più a sinistra. Per esempio di 2040 è 20 (l’altra coppia è 40) mentre di 20400 è 2 (le altre coppie sono 04 e 00).

Una volta trovata la coppia di cifre (può anche essere una sola) da considerare basta usare la lista di quadrati precedentemente elencata è prendere quella che dà un quadrato minore o uguale alla nostra coppia. Nel caso di 20 il quadrato cercato è 16, nel caso di 2 il quadrato è 1.

Questo ci porta a un apparente paradosso: le cifre più significative delle radici non sono equidistribuite fra 1 e 9 ma seguono evidentemente le seguenti percentuali:
(0 → 1% ha senso… in un certo senso!)
1 → 3%
2 → 5%
3 → 7%
4 → 9%
5 → 11%
6 → 13%
7 → 15%
8 → 17%
9 → 19%
Quindi se qualcuno vi chiedesse di scommettere su quale sia la prima cifra della radice del numero che sta pensando vi conviene puntare sul 9!
Il paradosso è ancora più evidente se vi dicono che la prima cifra radice del numero che hanno scelto A CASO è 1 o 9 e voi dovete indovinare fra queste due cifre: ebbene scegliendo 9 dovreste vincere 6 volte più spesso che scegliendo 1!
Modificato 6/12/2022: In realtà mi è venuto il dubbio che le probabilità siano diverse e che debbano essere calcolate considerando che il numero abbia un numero pari di cifre al 50% e ridistribuendo quindi opportunamente le varie percentuali...

Ma torniamo a noi.
Abbiamo trovato il modo per calcolare la cifra più significativa della radice. Sarebbe bello poter usare esattamente lo stesso sistema per calcolare le successive: considerare, per esempio, la differenza fra il numero originale e il quadrato della radice approssimata alla prima cifra significativa e riapplicare lo stesso metodo visto precedentemente.
Sfortunatamente questa idea non funziona: se la prima cifra trovate è X*10 e la seconda è Y il quadrato del numero XY non è semplicemente (X*10)^2 + Y^2 ma vi si deve anche aggiungere 2*(X*10)*Y. Va insomma considerato il doppio prodotto! (*1)
Se le cifre della radice trovata sono X=2 e Y=4 cioè 24 il quadrato non è 20^2 = 400 + 4^2 = 16 cioè 416 ma tale somma più il doppio prodotto: cioè 416 + 2*20*4 (=160) e cioè 576.

Questa osservazione ci dà però una facile procedura per calcolare le varie cifre della radice partendo da quella più significativa e via via tutte le altre.

Per spiegare il metodo è più semplice mostrare direttamente qualche esempio.

1235 coppie 12 e 35
1. R = 3; r = 12 – R^2 = 12 – 9 = 3
1a. R=30 (ho aggiunto un singolo zero alla radice approssimata); r = 3 | 35 = 335 (ho fatto calare le due cifre successive)
1b. Per trovare la nuova cifra di R devo risolvere questa disequazione per Y intero e compreso fra 0 e 9: r >= 2*R*Y + Y^2 ovvero 335 >= 2*30*Y + Y^2 ovvero 335 >= 60*Y + Y^2 è facile vedere che Y deve essere 5 perché si ottiene 60*5 + 5^2 = 300 + 25 = 325 che è minore di 335.
2. R=35; r = 335-325 = 10
Ma troviamo anche la prima cifra dopo la virgola…
2a. R=350 (ho aggiunto un singolo 0); r = 1000 (ho fatto calore le due cifre successive, ovvero 00)
2b. 1000 >= 350*2*Y+Y^2 = 700*Y+Y^2 in questo caso è immediato vedere che Y=1
3. R=35.1; r=1000-701=299

Ma facciamo un altro esempio:
54321 in coppie 5|43|21
1. R=2; r=5-4=1
1a. R=20; r = 143
1b. Y intero fra 0 e 9 tale che 143 >= 40*Y + Y^2 ovvero Y=3
2. R=23; r = 143 – (120 + 9) = 14
2a. R=230; r = 1421
2b. Y intero fra 0 e 9 tale che 1421 >= 460*Y + Y^2 ovvero di nuovo Y=3
3 R=233; r=1421-(1380+9)= 32
Volendo trovare la prima cifra decimale:
3a. R=2330; r=3200
3b. Y intero fra 0 e 9 tale che 3200 >= 4660*Y+Y^2 cioè Y=0

Quindi la radice di 54321 dovrebbe essere 233.0 e altri numeri: secondo la calcolatrice è: 233.068…

Esempio finale: 1771 in coppie 17|71
1. R=4; r=1
1a. R=40; r=171
1b. Y intero fra 0 e 9 tale che 171>= 80*Y + Y^2 evidentemente Y=2
2. R=42; r=171 – (160+4) = 7
2a. R=420; r=700
2b. Y intero fra 0 e 9 tale che 700>=840*Y+Y^2 cioè Y=0
3. R=42.0; r=700
3a. R=4200; r=70000
3b. Y intero fra 0 e 9 tale che 70.000 >= 8400*Y + Y^2 sapendo le tabelline si trova Y=8
4. R=42.08 etc.

Conclusione: alla fine un metodo simile (magari anche uguale!) a quello del video dove però non mi sembra ci fosse la disequazione con Y^2 (ma magari ricordo male: non l’ho riguardato!). Buffo il “paradosso”...

Nota (*1): per la cronaca mentre ci ragionavo a letto mi era preso un “colpo” perché per un attimo avevo pensato che al crescere delle cifre si dovessero considerare tutti i doppi prodotti delle diverse cifre. Dopo poco fortunatamente mi resi conto che tutte le cifre della radice tranne quella che andiamo a calcolare sono note e possono essere sommate insieme. Cioè nel numero 38Y non devo considerare i doppi prodotti fra 300, 80 e Y ma semplicemente fra 380 e Y...

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