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sabato 13 novembre 2010

Per Nettuno, sola andata

Ieri ho rivisto a distanza di anni un gradevole film di fantascienza: Punto di non ritorno.

Proprio all'inizio del film vengono snocciolati dei dati interessanti: nell'anno 2047, l'astronave dei protagonisti ha un'accelerazione di 30G e, partendo dall'orbita terrestre, raggiunge Nettuno in 56 giorni.

Mi sono quindi divertito a verificare se, con tale accelerazione, era possibile raggiungere Nettuno nel tempo indicato. Non sapendo niente di astronomia i miei calcoli saranno molto approssimativi ma, spero, corretti nell'essenza...

Per prima cosa bisogna conoscere la distanza Terra-Nettuno nel 2047. Non conoscendo le posizioni relative dei due pianeti in tale anno mi sono accontentato di un'approssimazione.
Su Wikipedia ho trovato che il perielio e l'afelio di Nettuno sono rispettivamente 4,459 e 4,536 miliardi di Km, quindi in media 4,498 miliardi di Km. Ho deciso poi di ignorare la posizione della Terra che potrebbe fare variare tale distanza di circa + o – 150 milioni di Km (*1).

Ho poi calcolato che 56 giorni equivalgono a 56x24x3600 secondi, ovvero 4 838 400 (TT=Tempo Totale) secondi.
Invece, 1 G, equivale a 9,81 m/s*s, quindi 30 G sono 294,3 m/s*s

A questo punto volevo calcolare la velocità massima (Vmax) raggiungibile moltiplicando 30G per TT. Mi sono però reso conto che l'astronave deve anche rallentare per fermarsi in tempo! Mi è parso coerente considerare che anche la capacità di frenata equivalga a 30G: per questo motivo la velocità massima si raggiungerà dopo 28 giorni perché, da quel momento, l'astronave dovrà iniziare a “frenare”...

Quindi Vmax è uguale a 30G*TT/2, cioè 294,3* 4 838 400/2 ovvero 711 970 560 m/s: più del doppio della velocità della luce (*2)!
È quindi evidente che l'astronave non avrebbe avuto bisogno di raggiungere tale velocità (oltre che, per quanto ne so, fisicamente impossibile da raggiungere).
Ho deciso allora di cambiare approccio e considerare per quanto tempo l'astronave avrebbe dovuto accelerare a 30G per raggiungere Nettuno in 56 giorni.
Come detto, la distanza Terra-Nettuno da me approssimata è pari a 4.5 miliardi di Km equivalenti a 4500 miliardi di metri (DIST).
L'astronave dovrebbe quindi viaggiare a velocità costante pari a DIST/TT per raggiungere Nettuno esattamente in 56 giorni. Cioè 4 500 000 000 000/4 838 400 pari a 930 059 m/s (*3).
Con un'accelerazione di 30G è possibile raggiungere tale velocità in 930 059 / 294,3 cioè in 3160 secondi, circa 53 minuti.
In realtà anche in questo calcolo ho fatto un'approssimazione: l'astronave viaggerebbe sì alla velocità voluta per gran parte del viaggio ma nei 106 minuti di accelerazione e decelerazione viaggerebbe a una velocità minore perché, appunto, nella prima fase starebbe raggiungendo la velocità di crociera partendo da ferma mentre, nella seconda, starebbe rallentando fino a fermarsi.

Volendo essere più precisi bisognerebbe risolvere la seguente equazione:

(VC/2)*TA*2+(TT-TA*2)*VC=DIST

VC=Velocità di crociera; TA=Tempo di accelerazione; TT=Tempo totale del viaggio e DIST=Distanza Terra-Nettuno.

In altre parole significa che la distanza percorsa durante l'accelerazione e la decelerazione ((VC/2)*TA*2), sommata alla distanza percorsa alla velocità di crociera per il resto del tempo, deve essere pari alla distanza totale.
L'unica incognita dell'equazione è TA in quanto VC è pari a 30G*TA.

Con qualche passaggio si ottiene:
(VC/2)*TA*2+(TT-TA*2)*VC=DIST

VC*TA+VC*TT-2*VC*TA=DIST

VC*TT-VC*TA=DIST

30G*TA*TT-30G*TA*TA-DIST=0

30G*TA*TA-30G*TT*TA+DIST=0

294,3*TA*TA-294,3* 4 838 400*TA+ 4 500 000 000 000=0

294,3*TA*TA – 1 423 941 120*TA + 4 500 000 000 000=0

Questa è un'equazione di secondo grado, con TA come incognita, e le soluzioni sono:

TA= (1 423 941 120 +/- SQRT(2 027 608 313 226 854 400 – 5 297 400 000 000 000))/588.6

TA= (1 423 941 120 +/- SQRT(2 022 310 913 226 854 400))/588.6

TA= (1 423 941 120 +/- 1 422 079 784)/588.6

TA1=4 835 238 sec

TA2=3162 sec

Non so bene perché venga fuori il valore TA1: suppongo che derivi dal fatto che non ho imposto che la distanza totale deve essere compiuta arrivando con l'astronave ferma e non sparata a tutta velocità... no... non mi convince... beh, ci penserò e poi aggiungerò un EDIT per chiarire...

Il valore TA2 è invece chiaramente quello cercato: bastano 2 secondi in più di accelerazione per compensare la velocità minore in accelerazione e decelerazione...

Certo che 30G sono tanti...
Mi chiedo: qual è l'accelerazione MINIMA per arrivare in 56 giorni su Nettuno?
Ovviamente si tratta dell'accelerazione applicata per 28 giorni.
In questo caso i conti esatti dovrebbero essere più semplici: siccome ho già scritto abbastanza salto qualche passaggio. Confido che chi mi abbia seguito fin qui non abbia problemi...

930 059 m/s è la velocità MEDIA che dobbiamo avere sia in fase di accelerazione che decelerazione, quindi dovremo raggiungere la velocità massima 2*930 059 m/s in TT/2 secondi. Cioè 0,768 897 983
m/s*s equivalenti a 0.08G...
Non so se l'astronave in questa maniera avrebbe risparmiato energia ma, come dice il proverbio, “Chi accelera piano, va sano e va lontano”...

Nota (*1): In realtà il sito degli astrofili bresciani indicava la distanza Terra-Nettuno pari a 4,35 miliardi di Km, ovvero circa 140 milioni di Km meno della mia stima. Non so, forse indicano la distanza minima Terra-Nettuno... non essendo un astronomo preferisco usare la mia stima (anche se, proprio per questo, dovrei fare l'inverso!).
Nota (*2): 299 792 458 m/s
Nota (*3): 930 059 * 3 600 / 1000 = 3 348 212 Km/h

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