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martedì 13 settembre 2011

Insonnia periodica

Quando dormo sogno. Quando ho l'insonnia non dormo. Quando non dormo penso.
Stanotte avevo il cervello in loop: non ricordo più su cosa ero bloccato, comunque era una situazione che si ripeteva sempre più o meno uguale a se stessa. Diciamo, tanto per dirne una, che ero “bloccato” a giocare delle mani di poker. Ma non è importante...

A un certo momento della notte sono quasi uscito dal dormiveglia rendendomi conto di essere in un circolo vizioso (che oltretutto mi lascia mentalmente spossato). Allora ho concentrato la mia attenzione su un nuovo problema: com'è possibile trasformare i numeri periodici in frazioni?
Ricordavo che c'era un trucco facile facile che ai miei tempi veniva insegnato alle elementari (ora suppongo, visto il test di ammissione a medicina (vedi No dottore), sia materia per le scuole superiori...): cioè ricordavo che c'era una maniera semplice per farlo ma non come...

Quindi immaginatemi al buio, contorto in un'improbabile posizione che per un breve attimo irrazionale mi era sembrata poter conciliare il sonno, steso sulla pancia e con la testa sprofondata nel cuscino. Sto immobile: sembro dormire ma in realtà sono alle prese con un problema matematico.

Sono partito da 1/3=0.3333... poi ho provato 1/9=0.1111... e mi son detto: “è fatta, da qui posso ottenere 0.222..., 0.333..., 0.444... etc..”. Infatti basta moltiplicare 1/9 per 2, per 3, per 4, etc...
Allora ho iniziato a pensare: “e quando sono due (o più) i numeri che si ripetono?”.
Devo ammettere che il mio cervello addormentato non ha fatto molti ragionamenti logici: semplicemente ho provato a dividere 1 per 99 rendendomi conto che 0.010101... era il “mattoncino” grazie al quale potevo ricavare tutti i numeri periodici di 2 cifre. Ad esempio 0.434343... è uguale 1/99 moltiplicato 43, cioè 43/99.
Per arrivare fin qui ci avrò messo sì e no 10 secondi di non-sonno. Poi mi sono chiesto "E se prima della parte periodica ci sono delle cifre che non si ripetono?"
Questa complicazione non mi sembrava una grossa difficoltà e, nella mia insonnia, ho semplicemente deciso di rigirarmi nel letto e pensare ad altro...
Comunque, ora che sono (relativamente!) desto, provo a risolvere al volo la cosa: supponiamo di voler portare in forma frazionaria 0,123454545...
Io scomporrei 0,123454545... in 0,123 + 0,00045... Il primo numero è banalmente 123/1000 mentre il secondo, per quanto visto precedentemente, è 45/99 diviso 1000 (per aggiungere i 3 zeri in testa...) ovvero 45/99000.
Applicando le solite regole per la somma di frazioni si ottiene:
123/1000 + 45/(99*1000)= (123*99+45)/(99*1000)=12222/99000=0,1234545...

Bo... mi sa che il trucco delle elementari era ancora più facile: non mi sembrava che ci fosse da modificare il numeratore... Però il mio metodo funziona e quindi non ho lo stimolo per cercarne uno più semplice...

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