Sono le 2:56 di notte ma non ho sonno: colpa della matematica!Partiamo dagli incunaboli.
Qualche settimana fa YouTube, che conosce i miei gusti, mi ha presentato un video con un titolo del tipo “Se risolvi questo quiz vieni subito assunto dai servizi segreti britannici!”. Non ho guardato i dettagli ma mi sono fermato all’immagine “thumbnail” del video: c’erano una serie di quadrati dalle dimensioni più o meno note e poi, costruito su questi, un triangolo sbilenco. Il quiz chiedeva di calcolare l’area di detto triangolo.
In realtà con un po’ di banali somme e sottrazioni si poteva applicare ripetutamente il teorema di Pitagora e calcolare così i tre lati del triangolo: una banalità.
Come tutti sanno l’area di un triangolo si calcola moltiplicando la base * l’altezza diviso 2.
Ma con tre lati non si ha l’altezza, quindi?
Quindi ricordavo che c’era una formula alternativa (il teorema di Erone) che dati i tre lati calcola l’area. Siccome non me lo ricordavo ed ero curioso ho chiesto a chatGPT.
Ecco la formula di Erone:
Area Triangolo = Radice[s(s-a)(s-b)(s-c)]
dove a, b e c sono i tre lati ed s è il semi perimetro [ovvero (a+b+c)/2]
E qui ho lasciato perdere non avendo più interesse per il quiz evidentemente banale...
Qualche giorno dopo ho però iniziato a chiedermi “certo che è strana questa formula di Erone: chissà come l’ha calcolata… quasi quasi mi diverto e mi faccio anch’io per mio conto la dimostrazione”.
Tenete presente che nel frattempo mi ero già dimenticato la formula di Erone: ricordavo solo che c’era una radice quadrata e il semiperimetro…
Beh, per farla breve ho riempito ben 9 pagine di quadernino (e 1 di calcoli prima di metterli su un foglio Calc visto che continuavo a confondermi e sbagliarli!).
Provo a ripercorrere i miei ragionamenti, che sfortunatamente non sono lineari come mi piacerebbe fossero, sfogliando le pagine di detto quadernino.
Giorno 1, pagina 1
Inizialmente mi sono subito reso conto che se prendevo il punto centrale di un triangolo, per costruzione equidistante dai tre lati e da esso tracciavo la distanza h dai tre lati, allora l’area era banalmente: (a*h+b*h+c*h)/2
Il problema era calcolare h…
pagina 2
Ognuno dei tre “triangolini” ha la base divisa in due parti dall’altezza h. Ecco queste singole parti si possono calcolare con la formula:
(a+b-c)/2
(b+c-a)/2
(a+c-b)/2
Siccome sono uguali a coppie con queste tre equazioni potevo calcolarli tutti.
Come detto non mi ricordavo più la formula di Erone però questi conti mi ricordavano abbastanza il semiperimetro. E per la radice pensavo che ci fosse da applicare un teorema di Pitagora…
pagina 3
Vari scarabocchi di triangoli in cui cerco di evidenziare, malamente perché odio disegnare, i vari angoli, bisettrici e triangolini che si formano disegnando le altezze etc.
Iniziavo a sospettare che ci fossero triangoli simili da scoprire per arrivare poi a ottenere un secondo lato di triangolo rettangolo su cui applicare il teorema di Pitagora….
Giorno 2, pagina 4
Per prima cosa mi appunto due lemmi che avevo pensato mi potessero servire nella mia dimostrazione e che avevo dimostrato a mente (qualche ora prima mentre guidavo). Li ricopio tali e quali.
Lemma 1: Bisettrice = luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo diviso.
Lemma 2: L’intersezione di due bisettrici identifica punto equidistante da tre lati del triangolo.
Nel resto della pagina disegno tre grossi triangoli con la squadra (segno di disperazione!) e di vari colori, idem per gli angoli.
pagina 5
Mi sembra di notare che il punto identificato dalle bisettrici (da cui poi partono le tre altezze h sui tre lati del triangolo) è più vicino ai lati più grandi e distante da quelli più piccoli. Ipotizzo quindi che si possa trovare una relazione basandosi sui reciproci rapporti dei lati fra di loro.
Il problema è che poi mi rifaccio sempre all’area e quindi finisco per riscrivere le solite formule in maniera leggermente diversa
pagina 6
Piuttosto incomprensibile. La dovrei scansionare. Ci infilo anche una derivata ma non arrivo a niente
Giorno 3, pagina 7
Decido di semplificare il problema e calcolare la misura dei segmenti di lato tagliati dalla bisettrice dell’angolo opposto del triangolo. Pensavo che se risolvevo questo caso “facile” poi, in qualche modo, avrei potuto applicarlo anche al caso particolare che interessava a me.
Riempio la pagina 7 e metà della 8 di angoli per cercare di identificare triangoli simili che però non riesco a trovare…
Giorno 4, pagina 7
Siamo arrivati a ieri (non ricordo quando erano gli altri giorni ma, sono sfalsati l’uno dall’altro di due o tre giorni ciascuno: che poi con “un giorno” intendo circa 1 ora a sera tardi, probabilmente due ore il primo giorno). Cambio approccio: penso che se trovo una maniera con cui si costruiscono geometricamente i triangoli e, soprattutto, le bisettrici potrei poi applicare la versione matematica del procedimento per calcolare ciò che mi serve.
Nella seconda parte della pagina disegno quindi vari cerchi con cui costruisco un triangolo dai lati generici a, b e c e un secondo triangolo in cui il cerchio iscritto ha il raggio che equivale al famigerato h che non riesco a calcolare…
Poi però abbandono il tutto anche perché non sapevo bene come tradurre i procedimenti geometrici in formule matematiche.
Giorno 5, pagina 8 (e 9)
Stasera ho poi fatto quello che dovevo fare dall’inizio: sdraiarmi a occhi chiusi per concentrarmi bene sul problema. In realtà non mi sono sdraiato a letto (ultimamente ho problemi di ossigenazione del cervello se mi sdraio quindi indosso un saturimetro che mi avverte se il livello di ossigeno scende troppo ma così diviene tutto troppo stressante) ma mi sono messo a pedalare alla cyclette a occhi chiusi (per dimagrire per il problema di ossigenazione sullodato).
Ovviamente sono ripartito dalle idee geometrica del giorno precedente e questa volta ho avuto una buona intuizione: “ma se io mi immagino in un piano cartesiano un angolo del triangolo sull’origine degli assi e un lato adagiato sull’asse delle ascisse (quindi avrei già le coordinate di due angoli del triangolo) poi potrei calcolare le coordinate del terzo punto semplicemente risolvendo il sistema di equazioni dei cerchi con centri nell’origine e sull’ascissa e raggi della lunghezza degli altri due lati.
A questo punto con le coordinate dei tre punti posso scrivere le equazioni delle rette che passano per questi punti (su cui giacciono i lati del triangolo), poi posso scrivere le equazioni di due bisettrici e trovare il maledetto punto nel mezzo del triangolo. Già ma le bisettrici come le calcolo? Bo… male male scrivo le equazioni delle rette perpendicolari a due lati, identifico il loro punto di intersezione e poi scrivo l’equazione della rette che passa dall’origine e da quel punto, e questa è una bisettrice, poi applico lo stesso procedimento a un altro angolo, calcolo l’intersezione di queste due bisettrici e ho trovato il punto centrale che mi interessa.”
Insomma un procedimento un po’ lungo ma semplice.
Così sono andato a letto contento (alle 1:30) dopo aver scritto al mio amico matematico (gli avevo accennato della mia idea in macchina giovedì scorso e lui mi aveva detto che la dimostrazione non era facile) che pensavo di aver risolto il problema.
A letto se ho in mente un problema matematico non riesco a dormire e così, inevitabilmente, ho finito per pensare alle “mie” bisettrici quando, improvvisamente, mi sono reso conto di essere un cretino!
Se riesco a calcolare le coordinate del terzo punto del triangolo ho già finito: la sua coordinata y sarà infatti pari all’altezza del triangolo relativa al lato che giace sull’asse delle ascisse!
Siccome non ce la facevo ad aspettare fino all’indomani ho ripreso il mio quadernino e ho scritto i seguenti passaggi:
“Lati a, b, c
Cerchio X² +Y² =r ²
[Disegnino di un triangolo con base su asse ascisse e angolo 1 di coordinate (0,0) e angolo 2 (a,0). Poi due circonferenze che si intersecano nel terzo punto mancante]
[Scrivo il sistema di due equazioni]
X ² + Y ² = c ²
(X-a)²+Y²
[e a fianco]
ci interessa solo Y,
comunque solo X>0, Y>0
[risolvo il sistema]
Y ²=c ²-X ²
X ²+a ²-2aX+c ²-X ²=b ²
2aX = a ²+c ²-b ²
X=(a ²+c ²-b ²)/2a
Y=Radice(c ²-((a ²+c ²-b ²)/2a)²)
Area=(a*Radice(c ²-((a ²+c ²-b ²)/2a)²))/2
CVD”
Vabbè, ho riscritto la mia formula finale con l'editor di formule così è più leggibile...
Vabbè, un errore di calcolo: ho inserito quindi le formule in un foglio Calc e…
Non tornava niente!
Però, con un po’ di pazienza, mi sono accorto che avevo invertito in una formula la casella corrispondente al lato b con quella del c. Corretto il problema ho ottenuto il risultato corretto di 6!!
“Ma come?” direte voi “la tua formula non è bellina e simmetrica come quella di Erone se cambi l’ordine dei lati verrà un risultato diverso no? (sottintendendo che l’area dovrebbe invece rimanere sempre uguale)”
E invece torna: evidentemente nelle potenze alla quarta e nei quadrati c’è una qualche simmetria, non so…
Comunque ho cambiato l’ordine dei lati, ovviamente cambiano i risultati intermedi, ma alla fine il risultato è sempre 6!
Buffo però come la mia formula sia così più complicata di quella di Erone: ho la sensazione che sia arrivato al risultato attraverso una strada molto diversa dalla mia. Credo che solo i miei disegnini pidocchiosi mi abbiano impedito di vedere qualche triangolo simile con cui risolvere molto più semplicemente il tutto invece di sprecarci tutto questo tempo (un sei ore?)…
Per scrupolo ho aggiunto al mio foglio Excel anche la formula di Erone per verificare che i risultati siano uguali qualunque misura inserisca per i lati a, b e c. E infatti:
